Question

Решите тригонометрическое уравнение : sin^5x+cos^5x=1

Answer 1

Ответ:

x={π/2+2kπ, kπ}, k∈Z

Объяснение:

-1≤sinx≤1⇒sin⁵x≤sin²x

-1≤cosx≤1⇒cos⁵x≤cos²x

1=sin⁵x+cos⁵x≤sin²x+cos²=1

sin⁵x+cos⁵x=1⇔sin²x=sin⁵x, cos²x=cos⁵x

sin²x=sin⁵x

sin²x(1-sin³x)=0

1) sin²x=0

sinx=0

x=kπ⇒cosx=1

2) 1-sin³x=0

sinx=1

x=π/2+2kπ⇒cosx=0

Answer 2

Давайте решим данное тригонометрическое уравнение:

sin^5(x) + cos^5(x) = 1

Сначала выразим sin^5(x) через cos(x) с использованием тождества sin^2(x) + cos^2(x) = 1:

sin^5(x) = (sin^2(x))^2 * sin(x) = (1 - cos^2(x))^2 * sin(x)

Теперь заменим sin^5(x) в исходном уравнении:

(1 - cos^2(x))^2 * sin(x) + cos^5(x) = 1

Теперь раскроем квадрат:

(1 - cos^2(x))^2 = 1 - 2cos^2(x) + cos^4(x)

Подставим это обратно в уравнение:

(1 - 2cos^2(x) + cos^4(x)) * sin(x) + cos^5(x) = 1

Теперь сгруппируем члены с cos^4(x):

sin(x) - 2cos^2(x)sin(x) + cos^4(x)sin(x) + cos^5(x) = 1

Теперь заменим cos^4(x) на (1 - sin^2(x)):

sin(x) - 2cos^2(x)sin(x) + (1 - sin^2(x))sin(x) + cos^5(x) = 1

Раскроем скобки:

sin(x) - 2cos^2(x)sin(x) + sin(x) - sin^3(x) + cos^5(x) = 1

Теперь заметим, что sin(x) и -sin^3(x) отменяются:

-2cos^2(x)sin(x) + cos^5(x) = 0

Теперь можно выразить sin(x) через cos(x):

-2cos^2(x)sin(x) = -2sin(x)cos^2(x)

Теперь поделим обе стороны на -2cos^2(x) (предполагая, что cos(x) не равно нулю):

sin(x) = (cos^3(x)) / 2

Теперь выразим sin(x) через tan(x):

sin(x) = (1 - tan^2(x)) / (1 + tan^2(x))

Подставим это в уравнение:

(1 - tan^2(x)) / (1 + tan^2(x)) = (cos^3(x)) / 2

Теперь умножим обе стороны на (1 + tan^2(x)):

1 - tan^2(x) = (cos^3(x)) / 2 * (1 + tan^2(x))

Умножим обе стороны на 2:

2 - 2tan^2(x) = cos^3(x) * (1 + tan^2(x))

Теперь заметим, что 1 + tan^2(x) = sec^2(x), и подставим это:

2 - 2tan^2(x) = cos^3(x) * sec^2(x)

Теперь выразим tan^2(x) через sec^2(x):

tan^2(x) = sec^2(x) - 1

Подставим это обратно:

2 - 2(sec^2(x) - 1) = cos^3(x) * sec^2(x)

Раскроем скобки:

2 + 2 - 2sec^2(x) = cos^3(x) * sec^2(x)

4 - 2sec^2(x) = cos^3(x) * sec^2(x)

Теперь домножим обе стороны на sec^2(x):

4sec^2(x) - 2sec^4(x) = cos^3(x)

Теперь используем тождество cos^2(x) = 1 - sin^2(x):

4(1 - sin^2(x)) - 2(1 - sin^2(x))^2 = cos^3(x)

Упростим:

4 - 4sin^2(x) - 2(1 - 2sin^2(x) + sin^4(x)) = cos^3(x)

4 - 4sin^2(x) - 2 + 4sin^2(x) - 2sin^4(x) = cos^3(x)

Теперь сгруппируем члены:

-2sin^4(x) - 2 = cos^3(x)

Теперь возведем обе стороны в куб:

-8sin^12(x) - 8 = cos^9(x)

Теперь можно выразить cos^9(x) через sin^12(x):

cos^9(x) = 8sin^12(x) + 8

Таким образом, решение этого тригонометрического уравнения будет:

cos(x) = (8sin^12(x) + 8)^(1/9)

Пожалуйста, обратите внимание, что это сложное уравнение, и его решение в виде аналитической формулы может быть сложным и неудобным. Можно также использовать численные методы для приближенного нахождения решения.