Question

Знайдить проміжки монотонності функції у=х^3+6x^2-15x-3

Answer 1

Ответ:

y`=3x^2+12x-15

Объяснение:

y`=d/dx(x^3+6x^2-15x-3)

y`=d/dx(x^3)+d/dx(6x^2)+d/dx(-15x)-d/dx(3)

y`=3x^2+6*2x-15-0

y`=3x^2+12x-15

Answer 2

Для знаходження проміжків монотонності функції f(x) = x^3 + 6x^2 - 15x - 3 спочатку знайдемо похідну цієї функції, і визначимо, де ця похідна дорівнює нулю або не існує. Далі, використовуючи відомості про знаки похідної на цих проміжках, ми можемо визначити монотонність функції.

1. Знайдемо похідну функції f(x):

f'(x) = 3x^2 + 12x - 15.

2. Знайдемо точки, де похідна рівна нулю:

3x^2 + 12x - 15 = 0.

Можемо спростити це рівняння:

x^2 + 4x - 5 = 0.

Тепер розв'яжемо це квадратне рівняння:

(x + 5)(x - 1) = 0.

Звідси отримуємо дві точки, де похідна дорівнює нулю:

x1 = -5 і x2 = 1.

3. Тепер розглянемо інтервали між цими точками і поза ними:

a) Інтервал (-∞, -5): На цьому інтервалі похідна f'(x) > 0 (розглядаючи, наприклад, точку x = -6, ми отримуємо f'(-6) = 3*(-6)^2 + 12*(-6) - 15 = 99 > 0). Отже, функція f(x) зростає на цьому інтервалі.

b) Інтервал (-5, 1): На цьому інтервалі похідна f'(x) < 0 (розглядаючи, наприклад, точку x = 0, ми отримуємо f'(0) = 30^2 + 120 - 15 = -15 < 0). Отже, функція f(x) спадає на цьому інтервалі.

c) Інтервал (1, +∞): На цьому інтервалі знову похідна f'(x) > 0 (розглядаючи, наприклад, точку x = 2, ми отримуємо f'(2) = 32^2 + 122 - 15 = 27 > 0). Отже, функція f(x) зростає на цьому інтервалі.

Отже, ми маємо такі проміжки монотонності функції f(x):

1. Функція зростає на інтервалі (-∞, -5).
2. Функція спадає на інтервалі (-5, 1).
3. Функція зростає на інтервалі (1, +∞).