Question

8. Для функції у=-х²+8х-15 знайдіть: а) область значень; б) про мiжки спадання; в) нулi функції; г) промiжки, в яких у ⩽0. ​

Answer 1

Решение:

у = - х² + 8х - 15 - квадратичная, графиком является парабола

а) а = - 1, - 1 < 0, ветви параболы направлены вниз, своего наибольшего значения функция достигает в вершине параболы, наименьшего значения функция не имеет.

х вершины = - b/(2a) = - 8/(-2) = 4;

y вершины = у(4) = - 16 + 32 - 15 = 1.

E(y) = ( - ∞ ; 1].

б) функция убывает при х є [4 ; + ∞).

в) нули функции:

у = 0, тогда

- х² + 8х - 15 = 0

х² - 8х + 15 = 0

D = 64 - 60 = 4,

x1 = (8+2)/2 = 5,

x2 = (8-2)/2 = 3

Нули функции - это 3 и 5.

г) у ⩽ 0 при х є (- ∞ ; 3] U [5 ; + ∞ ).

Answer 2

Для функції у = -х² + 8х - 15 ми можемо виконати наступні дії:

а) Область значень: Область значень - це множина всіх можливих значень функції у. У нашому випадку, ми маємо параболу, яка відкривається вниз, і найбільше значення буде в точці вершини параболи. Щоб знайти цю точку, ми можемо використовувати формулу для x-координати вершини параболи: x = -b/(2a), де a = -1 (коефіцієнт перед x²) і b = 8 (коефіцієнт перед x). Тоді x = -8/(2*(-1)) = -8/(-2) = 4. Знаючи x, ми можемо знайти відповідне значення у: у = -(4)² + 8(4) - 15 = -16 + 32 - 15 = 1.

Отже, область значень функції у - це всі дійсні числа, менші або рівні 1: у ≤ 1.

б) Проміжки спадання: Функція спадає на проміжках, де похідна функції менше за нуль. Похідна функції у = -х² + 8х - 15 дорівнює у' = -2х + 8. Для знаходження проміжків спадання ми можемо вирішити нерівність у' < 0:

-2х + 8 < 0

Віднімаємо 8 від обох сторін:

-2х < -8

Ділимо обидві сторони на -2, і змінюємо знак нерівності, оскільки ми ділимо на від'ємне число:

х > 4

Таким чином, функція у спадає для x > 4.

в) Нулі функції: Нулі функції - це значення x, при яких у = 0. Ми можемо знайти нулі функції, розв'язавши рівняння:

-х² + 8х - 15 = 0

Можна використовувати квадратну формулу або розв'язати це рівняння шляхом факторизації. Застосуємо факторизацію:

-(х² - 8х + 15) = 0

-(х - 5)(х - 3) = 0

Отже, нулі функції - це x = 5 і x = 3.

г) Проміжки, в яких у ≤ 0: Ми вже знайшли, що функція спадає для x > 4. Тепер ми можемо знайти проміжки, в яких у ≤ 0, шляхом розгляду таблиці знаків функції:

x < 3: -х² + 8х - 15 < 0 3 < x < 5: -х² + 8х - 15 > 0 x > 5: -х² + 8х - 15 < 0

Отже, проміжки, в яких у ≤ 0, це x ≤ 3 і 5 < x.