Question

2)-2x²-x+6>_(больше или равно) 0; 4) 2x²-7x+6<_(меньше или равно) 0;​

Answer 1

2) Щоб розв'язати нерівність, спочатку знайдемо корені відповідного квадратного рівняння -2x²-x+6=0:
x₁ = 1; x₂ = 3.
Ці значення розділяють числову пряму на три інтервали: (-∞, 1), (1, 3), (3, ∞).
Перевіримо знак виразу -2x²-x+6 на кожному з інтервалів:
-2x²-x+6 > 0 на інтервалах (-∞, 1) та (3, ∞)
-2x²-x+6 < 0 на інтервалі (1, 3)
Отже, розв'язком нерівності є об'єднання інтервалів (-∞, 1) та (3, ∞), тобто:
x < 1 або x > 3.

4) Щоб розв'язати нерівність, спочатку знайдемо корені відповідного квадратного рівняння 2x²-7x+6=0:
x₁ = 1/2; x₂ = 3.
Ці значення розділяють числову пряму на три інтервали: (-∞, 1/2), (1/2, 3), (3, ∞).
Перевіримо знак виразу 2x²-7x+6 на кожному з інтервалів:
2x²-7x+6 > 0 на інтервалах (1/2, 3)
2x²-7x+6 < 0 на інтервалах (-∞, 1/2) та (3, ∞)
Отже, розв'язком нерівності є інтервал (1/2, 3]:
1/2 < x ≤ 3.

Answer 2

Для решения неравенств с квадратными выражениями, нужно найти интервалы значений переменной (x), для которых неравенства выполняются. Давайте начнем с решения данных неравенств:

1. $2x^2 - x + 6 \geq 0$:

Сначала найдем корни квадратного уравнения $2x^2 - x + 6 = 0$. Для этого используем дискриминант:

Дискриминант ($D$) квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ вычисляется как $D = b^2 - 4ac$.

В данном случае: $a = 2$, $b = -1$, $c = 6$.

$D = (-1)^2 - 4 * 2 * 6 = 1 - 48 = -47$.

Дискриминант отрицательный, что означает, что уравнение $2x^2 - x + 6 = 0$ не имеет действительных корней. То есть, квадратное выражение $2x^2 - x + 6$ всегда положительно или равно нулю для всех значений $x$.

Таким образом, решением неравенства $2x^2 - x + 6 \geq 0$ является весь диапазон действительных чисел:

$x \in (-\infty, +\infty)$.

2. $2x^2 - 7x + 6 \leq 0$:

Теперь найдем корни квадратного уравнения $2x^2 - 7x + 6 = 0$, снова используя дискриминант:

$a = 2$, $b = -7$, $c = 6$.

$D = (-7)^2 - 4 * 2 * 6 = 49 - 48 = 1$.

Дискриминант положительный, что означает, что уравнение $2x^2 - 7x + 6 = 0$ имеет действительные корни. Рассмотрим эти корни:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{1}}{2 * 2} = \frac{7 + 1}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{1}}{2 * 2} = \frac{7 - 1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.

Теперь определим интервалы, на которых $2x^2 - 7x + 6 \leq 0$. Эти интервалы будут между корнями и за пределами корней:

$x < \frac{3}{2}$ или $x > 2$.

Итак, решением неравенства $2x^2 - 7x + 6 \leq 0$ является объединение двух интервалов:

$x \in (-\infty, \frac{3}{2}) \cup (2, +\infty)$.