Question

Знайдіть проміжки зростання і спадання функції f(x) = -x²+6x-8

Answer 1

Ответ:

Введемо поняття вершини параболи, яка задається функцією вигляду f(x) = ax²+bx+c. Вершина параболи знаходиться у точці (-b/2a, f(-b/2a)).

У нашому випадку a = -1, b = 6, c = -8. Тоді вершина параболи має координати (-b/2a, f(-b/2a)) = (3, -2).

Проміжок зростання функції -x²+6x-8 буде між -безкінечністю та точкою перетину з осью абсцис наліво від вершини (тобто між -безкінечністю та 3), а проміжок спадання - між точкою перетину на правій стороні вершини та +безкінечністю.

Точки перетину з осью абсцис знаходимо, вирішивши рівняння -x²+6x-8=0:

x²-6x+8=0

(x-2)(x-4)=0

Отримуємо дві точки перетину з осью абсцис: x=2 та x=4.

Тому, проміжок зростання функції буде між -безкінечністю та 2 або між 3 та +безкінечністю, а проміжок спадання - між 2 та 4.

Отже, проміжки зростання і спадання функції -x²+6x-8:

Зростання: (-безкінечність, 2) та (3, +безкінечність).

Спадання: (2, 4).

Answer 2

Щоб знайти проміжки зростання і спадання функції $f(x) = -x^2 + 6x - 8$, спочатку знайдемо її похідну та визначимо, де ця похідна є додатною (функція зростає) і де від'ємною (функція спадає).

1. Знайдемо похідну функції $f(x)$: $f'(x) = -2x + 6$.

2. Розв'яжемо рівняння $f'(x) = 0$, щоб знайти точки, де похідна дорівнює нулю: $-2x + 6 = 0$. Розв'яжемо це рівняння для $x$: $-2x = -6$, $x = 3$.

3. Тепер розділимо числову пряму на три інтервали, використовуючи знайдену точку $x = 3$:

   • Інтервал $x < 3$.
   • Інтервал $x = 3$.
   • Інтервал $x > 3$.

4. Оцінимо знак похідної $f'(x)$ на кожному з цих інтервалів, підставивши значення $x$ у похідну:

   • Для інтервалу $x < 3$, виберемо, наприклад, $x = 2$: $f'(2) = -2(2) + 6 = 2$. Таким чином, на цьому інтервалі похідна $f'(x)$ є додатною, тобто функція $f(x)$ зростає на цьому інтервалі.

   • Для інтервалу $x = 3$, похідна $f'(x)$ дорівнює нулю. На цьому інтервалі функція може мати локальний екстремум.

   • Для інтервалу $x > 3$, виберемо, наприклад, $x = 4$: $f'(4) = -2(4) + 6 = -2$. Таким чином, на цьому інтервалі похідна $f'(x)$ є від'ємною, тобто функція $f(x)$ спадає на цьому інтервалі.

Таким чином, функція $f(x) = -x^2 + 6x - 8$ зростає на інтервалі $(-∞, 3)$ і спадає на інтервалі $(3, +∞)$. На інтервалі $x = 3$ може бути точка локального екстремуму, але це потребує додаткового аналізу.