Question

Площини рівностороннього трикутника ANB і квадрата ABCD перпендикулярні. Знайдіть відстань між точкою N і прямою DC, якщо периметр квадрата дорівнює 8.

Answer 1

Відповідь:Оскільки АВВ1А1 квадрат, то АА1 = АВ і ВВ1 = А1В.

Також, оскільки трикутник ABC - рівносторонній, то всі його сторони мають однакову довжину, що дорівнює 2р.

Розглянемо трикутник АВА1. Оскільки АВ = АА1, то сторона трикутника AВА1 також дорівнює 2р. Звідси випливає, що трикутник АВА1 - рівнобедрений і має кут при вершині А, рівний 60 градусів. Аналогічно, трикутник ВBВ1 також є рівнобедреним і має кут при вершині В, рівний 60 градусів.

За теоремою Піфагора в прямокутних трикутниках АА1С та ВB1С, де С - центр рівностороннього трикутника ABC, можна знайти довжину А1С та В1С. Оскільки АА1 = 2р, то СА1 = р. За теоремою Піфагора, СС1 = √3р. Оскільки ВВ1 = А1В, то СB1 = р. Знову за теоремою Піфагора, СВ1 = √3р.

Таким чином, ми можемо знайти довжини сторін трикутника A1B1C1:

A1C1 = А1С + СC1 = 2р + √3р = (2 + √3)р

B1C1 = В1С + СB1 = 2р + √3р = (2 + √3)р

А1В1 = 2р

Тому периметр трикутника A1B1C1 дорівнює:

P = A1C1 + B1C1 + А1В1 = (2 + √3)р + (2 + √3)р + 2р = (4 + 2√3)р

Площа трикутника A1B1C1 може бути знайдена за допомогою формули Герона:

s = P/2 = (2 + √3)р + (2 + √3)р + 2р = (4 + 2√3)р

S = √(s(s - A1C1)(s - B1C1)(s - А1В1)) = √(((4 + 2√3)р)/2 * ((2 + √3)р)/2

Пояснення:

Answer 2

Давайте спробуємо розглянути цю задачу крок за кроком.

1. Периметр квадрата (ABCD): Периметр квадрата дорівнює 8, оскільки периметр квадрата вимірюється як сума довжини всіх його сторін, і в даному випадку, у нас є 4 сторони довжиною 2 кожна: Периметр квадрата $ABCD$ = 4 * сторона = 8 Сторона квадрата (ABCD) = 8 / 4 = 2.

2. Трикутник ANB: Даний трикутник ANB є рівностороннім, тому сторона трикутника (ANB) також має довжину 2 (як і сторона квадрата).

3. Відстань між точкою N і прямою DC: Відстань між точкою N і прямою DC буде відстанню між центром трикутника ANB і прямою DC (оскільки вони перпендикулярні).

   Враховуючи властивості рівностороннього трикутника, відстань між точкою N (центр трикутника ANB) і основою трикутника (стороною AB) буде рівна половині довжини сторони трикутника ANB, тобто 1.

   Оскільки сторона квадрата має довжину 2, то відстань між точкою N і прямою DC дорівнює половині довжини сторони квадрата, або 1 (половина сторони квадрата).

Таким чином, відстань між точкою N і прямою DC дорівнює 1.