Question

F(x)=1/(4x-3e^2) I=((3e^2)/4;+∞) F=(e^2;6) f(x)=1/((sin^2) x/8) I=(0;8п) F=(2п:-3) знайти первісну

Answer 1

Перша функція:
f(x) = 1/(4x - 3e^2), I = ((3e^2)/4; +∞), F = (e^2; 6)

Щоб знайти первісну (антипохідну) від цієї функції, застосуємо формулу первісної:

∫(1/(4x - 3e^2)) dx = ln|4x - 3e^2|/4 + C,

де C - довільна константа.

Друга функція:
f(x) = 1/((sin^2)(x/8)), I = (0; 8п), F = (2п; -3)

Аналогічно, для знаходження первісної застосуємо формулу первісної:

∫(1/((sin^2)(x/8))) dx = -8cot(x/8) + C,

де C - довільна константа.

Answer 2

Для знаходження первісної функції $F(x)$ для функції $f(x)$, спершу розглянемо функцію $f(x)$:

$f(x) = \frac{1}{\sin^2\left(\frac{x}{8}\right)}$

Для обчислення первісної функції $F(x)$, використовуйте тригонометричний інтеграл. Це може виглядати наступним чином:

$F(x) = \int f(x) \, dx = \int \frac{1}{\sin^2\left(\frac{x}{8}\right)} \, dx$

Для обчислення цього інтегралу використовуємо підстановку $u = \frac{x}{8}$, тоді $du = \frac{1}{8}dx$. З цього випливає, що $dx = 8du$. Замінюючи ці значення, ми отримаємо новий інтеграл:

$F(x) = \int \frac{1}{\sin^2(u)} \cdot 8 \, du = 8\int \csc^2(u) \, du$

Тепер ми маємо інтеграл, який можна обчислити. Інтеграл від $\csc^2(u)$ відомий і дорівнює $-\cot(u) + C$, де $C$ - це константа інтегрування. Замінюючи назад $u = \frac{x}{8}$, отримуємо:

$F(x) = 8\left(-\cot\left(\frac{x}{8}\right) + C\right) = -8\cot\left(\frac{x}{8}\right) + 8C$

Отже, первісна функція $F(x)$ для заданої функції $f(x)$ має вигляд:

$F(x) = -8\cot\left(\frac{x}{8}\right) + C$

Де $C$ - це довільна константа, яку можна визначити, якщо задана додаткова умова, наприклад, значення функції $F(x)$ в певній точці.