Question

Дано координати 4 точок: A(1,2,3), B(4,-5,6),C(-1,3,-4), D(-5,3,2). Визначити довжину вектора AB, площу трикутника ABC, об’єм піраміди ABCD, координату точки H (проекція точки С на пряму AB). Написати рівняння площини ABC у канонічному вигляді, та «у відрізках». Написати рівняння лінії AB у параметричному вигляді. Знайти координати точки E, яка є вершиною паралелограма ABEC.

Answer 1

Ответ:Довжина вектора AB:

AB = (3-(-5), -5-2, 6-3) = (8, -7, 3)

|AB| = √(8^2 + (-7)^2 + 3^2) = √82

Площа трикутника ABC:

AB = (8, -7, 3)

AC = (-2, 1, -7)

AB x AC = (-22, -50, -6)

|AB x AC| = √(22^2 + 50^2 + 6^2) = √2620

S(ABC) = 1/2 |AB x AC| = 1/2 √2620 ≈ 20.39

Об’єм піраміди ABCD:

V(ABCD) = 1/3 S(ABC) * h

h - висота піраміди, яка дорівнює відстані від точки D до площини ABC.

ABCD утворює прямокутну трикутну систему, тому висота піраміди дорівнює відстані від точки D до точки ABC.

h = |(D-A)·(ABxAC)| / |ABxAC|

h = |(-6,1,-1)·(-22,-50,-6)| / |(-22,-50,-6)|

h = |-44 + (-50) + 6| / √(22^2 + 50^2 + 6^2)

h = 100 / √2620

V(ABCD) = 1/3 S(ABC) * h = 1/3 * √2620 * 100 / √2620 = 100/3

Координата точки H:

H лежить на прямій AB, тому H = A + t·AB, де t - параметр.

Вектор AH:

AH = (t·8, t·(-7), t·3)

Вектор CB:

CB = (-1-4, 3-(-5), -4-6) = (-5, 8, -10)

Проекція вектора CB на вектор AB:

proj_AB(CB) = (CB·AB / |AB|^2)·AB

CB·AB = -40+56-30 = -14

|AB|^2 = 82

proj_AB(CB) = (-14/82)·(8, -7, 3) = (-1.7073, 1.5000, -0.6829)

Точка H лежить на прямій AB, тому вектори AH та proj_AB(CB) колінеарні.

AH = k·proj_AB(CB)

t·(8, -7, 3) = k·(-1.7073, 1.5000, -0.6829)

Система рівнянь:

t·8 = -1.7073·k

t·(-7) = 1.5000·k

t·3 = -0.6829·k

Розв’язуємо систему рівнянь:

t = -0.2787

k = -1.6281

Точка H:

H = A + t·AB = (1,2,3) + (-0.2787)·(8,-7,3) ≈ (0.3589, 0.0804, 2.4527)

Рівняння площини ABC у канонічному вигляді:

AB = (8, -7, 3)

AC = (-2, 1, -7)

n = AB x AC = (-22, -50, -6)

n·r = n·A

-22x - 50y - 6z = -22·1 -50·2 -6·3

22x + 50y + 6z = 122

Рівняння площини ABC у відрізках:

x/5 - y/11 - z/5 = 1

Рівняння лінії AB у параметричному вигляді:

x = 1 + t·8

y = 2 - t·7

z = 3 + t·3

Координати точки E:

E - середина відрізка AB.

E = (A+B)/2 = ((1,2,3)+(4,-5,6))/2 = (2.5,-1.5,4.5)

Вектор EC:

EC = C-E = (-1-2.5, 3+1.5, -4-4.5) = (-3.5, 4.5, -8.5)

Вектор AB:

AB = (4-1, -5-2, 6-3) = (3, -7, 3)

Вектор ED = AB

Вектор AE = AB/2

Вектор AD = ED - AE = AB/2

AD = (1.5, -3.5, 1.5)

Точка E:

E = C - AD = (-1,3,-4) - (1.5,-3.5,1.5) = (-2.5, 6.5, -5.5)

Объяснение:

Answer 2

Для вирішення цих завдань, спочатку знайдемо потрібні величини:

1. Довжина вектора AB: Вектор AB = B - A = (4 - 1, -5 - 2, 6 - 3) = (3, -7, 3) Довжина вектора AB = √(3^2 + (-7)^2 + 3^2) = √(9 + 49 + 9) = √67

2. Площа трикутника ABC: Використаємо векторний добуток векторів AB і AC для знаходження площі трикутника ABC. Площа дорівнює половині модуля векторного добутку. Вектор AB = (3, -7, 3) Вектор AC = (-1 - 1, 3 - 2, -4 - 3) = (-2, 1, -7) Векторний добуток AB і AC: AB × AC = [(7 * (-7) - 3 * 1), (3 * (-2) - (-7) * (-7)), (-2 * 3 - 1 * (-7))] = (-52, -17, -13) Модуль векторного добутку: |AB × AC| = √((-52)^2 + (-17)^2 + (-13)^2) = √(2704 + 289 + 169) = √3162 Площа трикутника ABC = 0.5 * |AB × AC| = 0.5 * √3162

3. Об'єм піраміди ABCD: Використаємо формулу для об'єму піраміди, де база - це площа ABC, а висота - відстань від вершини D до площини ABC. Знайдемо відстань від точки D до площини ABC. Використовуємо рівняння площини ABC: AB × AC = -52i - 17j - 13k Рівняння площини ABC: -52x - 17y - 13z + D = 0 Вставимо координати точки D: -52(-5) - 17(3) - 13(2) + D = 0 260 - 51 - 26 + D = 0 D = -183 Тепер ми знаємо висоту h: h = |D - C| = |-183 - (-4)| = |-183 + 4| = 179 Об'єм піраміди ABCD = (1/3) * Площа ABC * h = (1/3) * (0.5 * √3162) * 179

4. Координата точки H (проекція точки C на пряму AB): Використовуємо формулу для проекції: H = A + (AC • AB) / |AB|^2 * AB Вектор AC • AB = (-2 * 3) + (1 * (-7)) + (-7 * 3) = -6 - 7 - 21 = -34 |AB|^2 = 67 H = (1, 2, 3) + (-34 / 67) * (3, -7, 3) = (1, 2, 3) - (102/67, -238/67, 102/67)

5. Рівняння площини ABC: Знаємо, що AB × AC = (-52, -17, -13) і через точку A (1, 2, 3) проходить площина. Таким чином, рівняння площини ABC у канонічному вигляді виглядає так: -52x - 17y - 13z + D = 0, де D - довільна константа.

6. Рівняння лінії AB у параметричному вигляді: Ми вже знайшли вектор AB = (3, -7, 3). Початкова точка цієї лінії - A(1, 2, 3). Тепер можемо записати параметричне рівняння: x = 1 + 3t y = 2 - 7t z = 3 + 3t

7. Координати точки E (вершина паралелограма ABEC): Точка E знаходиться на прямій AB, тому можемо використати параметричне рівняння AB для знаходження координат E при певному значенні параметра t. Наприклад, якщо t = 1: x = 1 + 3 * 1 = 4 y = 2 - 7 * 1 = -5 z = 3 + 3 * 1 = 6 Координати точки E: (4, -5, 6)

Отже, ми знайшли всі потрібні величини і відповіді на ваші питання.