Question

Допоможіть, будь ласка, алгебра Відомо, що Р(-1) = 12, P(3) = -3 Визначте остачу від ділення многочлена Р(х) на х² - 2х -3.

Answer 1

Ответ:

Знайдемо коефіцієнти многочлена Р(х) за допомогою системи рівнянь, використовуючи дані про значення Р(-1) і Р(3):

⎧⎪⎨⎪⎩a(-1)² + b(-1) + c = 12, a(3)² + b(3) + c = -3, a + b + c = k.

Розв'язавши систему, отримаємо:

a = -2, b = 5, c = 9, k = 12.

Тепер можемо поділити многочлен Р(х) на х² - 2х -3 за допомогою довгого ділення:

-2x + 7

_____________

x² - 2x - 3 | -2x² + 5x + 9x + 12

-(-2x² + 4x + 6)

_____________

x + 18

-(x + 2)

_______

16

Отже, остача від ділення многочлена Р(х) на х² - 2х -3 дорівнює 16.

Answer 2

Для того щоб знайти остачу від ділення многочлена Р(х) на х² - 2х - 3, спростимо це ділення за допомогою алгоритму ділення многочленів (ділення синтетичним методом).

Многочлен Р(х) має вигляд:

P(х) = ах² + bх + c

Де a, b і c - це коефіцієнти многочлена, які нам треба знайти.

Ми знаємо, що P(-1) = 12 і P(3) = -3. Можемо скласти дві рівності на основі цих інформацій:

1. P(-1) = а(-1)² + b(-1) + c = 12
2. P(3) = а(3)² + b(3) + c = -3

Тепер розв'яжемо цю систему рівнянь для знаходження коефіцієнтів a, b і c.

1. (-а + b + c = 12)
2. (9а + 3b + c = -3)

Можемо використовувати метод елімінації або заміни для знаходження значень a, b і c. Наприклад, можна відняти рівняння (1) від рівняння (2):

(9а + 3b + c) - (-а + b + c) = -3 - 12

Це спрощується до:

10а + 2b = -15

Тепер можемо виразити b відносно a:

2b = -15 - 10a b = (-15 - 10a) / 2 b = -7.5 - 5a

Тепер ми знаємо вираз для b відносно a. Тепер можемо підставити цей вираз у рівняння (1):

(-а + (-7.5 - 5a) + c) = 12

Тепер розв'яжемо це рівняння для c:

-а - 7.5 - 5a + c = 12

Тепер додамо 7.5 до обох сторін:

-а - 5a + c = 12 + 7.5 -6a + c = 19.5

Тепер можемо виразити c відносно a:

c = 19.5 + 6a

Отже, ми маємо вирази для b і c відносно a:

b = -7.5 - 5a c = 19.5 + 6a

Тепер, коли ми знайшли вирази для коефіцієнтів b і c, ми можемо записати многочлен P(х) повністю:

P(х) = ах² + (-7.5 - 5a)х + (19.5 + 6a)

Тепер ми можемо ділити многочлен P(х) на х² - 2х - 3, щоб знайти остачу. Зараз розглянемо ділення:

P(х) / (х² - 2х - 3)

Ми можемо використовувати синтетичне ділення:

1. Ділимо перший член многочлена P(х) (ах²) на перший член дільника (х²): а.
2. Помножимо дільник (х² - 2х - 3) на результат кроку 1 (а) і віднімемо цей результат від P(х).
3. Повторюємо кроки 1 і 2 для наступних членів многочлена P(х).
4. Остача в останньому кроці буде нашим результатом.

Давайте продовжимо:

1. ах² / х² = а
2. P(х) - а(х² - 2х - 3) = -7.5х + (19.5 + 6a)
3. (-7.5х) / х² = -7.5 / х
4. (19.5 + 6a) / (х² - 2х - 3) = (19.5 + 6a) / (х² - 2х - 3)

Отже, остача від ділення многочлена P(х) на х² - 2х - 3 дорівнює:

-7.5 / х + (19.5 + 6a) / (х² - 2х - 3)

Зараз вам потрібно використовувати знайдені значення a, b і c, а також цей вираз для остачі, щоб точно обчислити остачу.