Question

Найти полный дифференциал z=2xysinx+3e^x+2y/x

Answer 1

Ответ:

Полный дифференциал функции двух переменных находится по формуле

                       $\bf dz=z'_{x}\, dx+z'_{y}\, dy$   .

$\bf z=2xy\, sinx+3e^{x}+\dfrac{2y}{x}\\\\\\z'_{x}=2y\, sinx+2yx\, cosx+3e^{x}-\dfrac{2y}{x^2}=2y\, (sinx+x\, cosx)+3e^{x}-\dfrac{2y}{x^2}\\\\\\z'_{y}=2x\, sinx+\dfrac{2}{x}\\\\\\dz=\Big(2y\, (sinx+x\, cosx)+3e^{x}-\dfrac{2y}{x^2}\Big)\, dx+\Big(2x\, sinx+\dfrac{2}{x}\Big)\, dy$

Answer 2

Для нахождения полного дифференциала функции z = 2xy*sin(x) + 3e^x + 2y/x, нужно взять частные производные по каждой из переменных (x и y) и умножить их на соответствующие дифференциалы переменных. Вот как это делается:

1. Найдем частные производные:

   • ∂z/∂x (частная производная по x): ∂/∂x (2xysin(x) + 3e^x + 2y/x) = 2ysin(x) + 2xy*cos(x) + 3e^x - 2y/x^2

   • ∂z/∂y (частная производная по y): ∂/∂y (2xysin(x) + 3e^x + 2y/x) = 2xsin(x) + 2/x

2. Теперь найдем полный дифференциал. Полный дифференциал выражается как: dz = (∂z/∂x)dx + (∂z/∂y)dy

   Подставим найденные частные производные: dz = (2ysin(x) + 2xycos(x) + 3e^x - 2y/x^2)dx + (2x*sin(x) + 2/x)dy

Это и есть полный дифференциал функции z.