Question

Знайдіть суму п'ятнадцяти перших членів геометричної прогресії: a) 1, 2, 4, 8, ...; б) 1024, 512, 256, ...; B) 1, -2, 4, -8, ...; г) 1024, -512, 256, ...БУДЬ ЛАСКА ДОПОМОЖІТЬ ДУЖЕ ТРЕБА СРОЧНО!!! ​

Answer 1

Для знаходження суми перших n членів геометричної прогресії можна використовувати формулу:

S
n
=
a
1
⋅
(
1
−
r
n
)
1
−
r
,
S
n
​
=
1−r
a
1
​
⋅(1−r
n
)
​
,

де:

S
n
S
n
​
- сума перших n членів прогресії,
a
1
a
1
​
- перший член прогресії,
r
r - знаменник прогресії,
n
n - кількість членів, суму яких ми шукаємо.
Давайте застосуємо цю формулу до кожного із запитаних прикладів:

a) 1, 2, 4, 8, ...

Тут
a
1
=
1
a
1
​
=1 (перший член прогресії), і
r
=
2
r=2 (знаменник прогресії, кожний наступний член удвічі більший за попередній).

Для суми перших 15 членів отримуємо:

S
15
=
1
⋅
(
1
−
2
15
)
1
−
2
=
1
⋅
(
1
−
32768
)
−
1
=
−
32767
−
1
=
32767.
S
15
​
=
1−2
1⋅(1−2
15
)
​
=
−1
1⋅(1−32768)
​
=
−1
−32767
​
=32767.

Таким чином, сума перших 15 членів цієї прогресії дорівнює 32767.

б) 1024, 512, 256, ...

Тут
a
1
=
1024
a
1
​
=1024 і
r
=
1
2
r=
2
1
​
(знаменник прогресії, кожний наступний член удвічі менший за попередній).

S
15
=
1024
⋅
(
1
−
(
1
2
)
15
)
1
−
1
2
=
1024
⋅
(
1
−
1
32768
)
1
2
=
1024
⋅
32767
32768
1
2
=
1024
⋅
65534
32768
=
2048.
S
15
​
=
1−
2
1
​

1024⋅(1−(
2
1
​
)
15
)
​
=
2
1
​

1024⋅(1−
32768
1
​
)
​
=
2
1
​

1024⋅
32768
32767
​

​
=1024⋅
32768
65534
​
=2048.

Отже, сума перших 15 членів цієї прогресії дорівнює 2048.

в) 1, -2, 4, -8, ...

Тут
a
1
=
1
a
1
​
=1 і
r
=
−
2
r=−2 (знаменник прогресії, кожний наступний член прогресії має протилежний знак від попереднього).

S
15
=
1
⋅
(
1
−
(
−
2
)
15
)
1
−
(
−
2
)
=
1
⋅
(
1
−
(
−
32768
)
)
1
+
2
=
1
⋅
(
1
+
32768
)
3
=
32769
3
=
10923.
S
15
​
=
1−(−2)
1⋅(1−(−2)
15
)
​
=
1+2
1⋅(1−(−32768))
​
=
3
1⋅(1+32768)
​
=
3
32769
​
=10923.

Отже, сума перших 15 членів цієї прогресії дорівнює 10923.

г) 1024, -512, 256, ...

Тут
a
1
=
1024
a
1
​
=1024 і
r
=
−
1
2
r=−
2
1
​
(знаменник прогресії, кожний наступний член прогресії має протилежний знак від попереднього).

S
15
=
1024
⋅
(
1
−
(
−
1
2
)
15
)
1
−
(
−
1
2
)
=
1024
⋅
(
1
−
1
32768
)
3
2
=
1024
⋅
32767
32768
3
2
=
1024
⋅
65534
49152
=
32768
3
.
S
15
​
=
1−(−
2
1
​
)
1024⋅(1−(−
2
1
​
)
15
)
​
=
2
3
​

1024⋅(1−
32768
1
​
)
​
=
2
3
​

1024⋅
32768
32767
​

​
=1024⋅
49152
65534
​
=
3
32768
​
.

Отже, сума перших 15 членів цієї прогресії дорівнює
32768
3
3
32768
​
або приблизно 10922.67 (округлено до двох десяткових знаків).

Отже, суми перших 15 членів зазначених геометричних прогресій:
а) 32767;
б) 2048;
в) 10923;
г) близько 10922.67.

Answer 2

Для знаходження суми перших членів геометричної прогресії можна скористатися наступною формулою:

$S_n = \frac{a_1 \cdot (1 - r^n)}{1 - r},$

де:

• $S_n$ - сума перших $n$ членів прогресії,
• $a_1$ - перший член прогресії,
• $r$ - знаменник прогресії.

Давайте застосуємо цю формулу до кожного з ваших варіантів.

a) Геометрична прогресія: 1, 2, 4, 8, ...

• $a_1 = 1$
• $r = 2$
• $n = 15$

Підставимо значення в формулу:

$S_{15} = \frac{1 \cdot (1 - 2^{15})}{1 - 2} = \frac{1 - 32768}{-1} = \frac{-32767}{-1} = 32767.$

Отже, сума перших 15 членів цієї геометричної прогресії дорівнює 32767.

б) Геометрична прогресія: 1024, 512, 256, ...

• $a_1 = 1024$
• $r = \frac{1}{2}$ (половини)
• $n = 15$

Підставимо значення в формулу:

$S_{15} = \frac{1024 \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{15}\right)}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1024 \cdot \left(1 - \frac{1}{32768}\right)}{\frac{1}{2}} = \frac{1024 \cdot \frac{32767}{32768}}{\frac{1}{2}} = \frac{32767}{2} = 16383.5.$

Отже, сума перших 15 членів цієї геометричної прогресії дорівнює 16383.5.

в) Геометрична прогресія: 1, -2, 4, -8, ...

• $a_1 = 1$
• $r = -2$
• $n = 15$

Підставимо значення в формулу:

$S_{15} = \frac{1 \cdot (1 - (-2)^{15})}{1 - (-2)} = \frac{1 \cdot (1 + 32768)}{3} = \frac{32769}{3} = 10923.$

Отже, сума перших 15 членів цієї геометричної прогресії дорівнює 10923.

г) Геометрична прогресія: 1024, -512, 256, ...

• $a_1 = 1024$
• $r = -\frac{1}{2}$ (мінус одна половина)
• $n = 15$

Підставимо значення в формулу:

$S_{15} = \frac{1024 \cdot (1 - (-\frac{1}{2})^{15})}{1 - (-\frac{1}{2})} = \frac{1024 \cdot (1 - \frac{1}{32768})}{\frac{3}{2}} = \frac{1024 \cdot \frac{32767}{32768}}{\frac{3}{2}} = \frac{32767}{64} \cdot 2 = \frac{32767}{32} = 1023.34375.$

Отже, сума перших 15 членів цієї геометричної прогресії дорівнює приблизно 1023.34375.

Таким чином, отримані суми для кожного з варіантів прогресії:

а) 32767 б) 16383.5 в) 10923 г) приблизно 1023.34375