Question

Решите уравнение cos^4x-cos2x-1=0 Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие интервалу (-3п;-3п/2)

Answer 1

$cos^4x-cos2x=1$                   $(-3 \pi ; -\frac{3 \pi }{2} )$

$cos^4x-(2cos^2x-1)=1$

$cos^4x-2cos^2x+1=1$

$cos^4x-2cos^2x+1-1=0$

$cos^4x-2cos^2x=0$

$cos^2x(cos^2x-2)=0$

$cos^2x=0$             или        $cos^2x-2=0$

$cosx=0$               или       $cosx=б \sqrt{2}$

$x= \frac{ \pi }{2} + \pi n,$  $n$ ∈  $Z$             ∅         так как  $|cosx| \leq 1$

$n=0,$      $x=\frac{ \pi }{2}$  ∉   $(-3 \pi ; -\frac{3 \pi }{2} )$
 
  $n=-1,$     $x=\frac{ \pi }{2} - \pi =-\frac{ \pi }{2}$  ∉   $(-3 \pi ; -\frac{3 \pi }{2} )$
 
  $n=-2,$     $x=\frac{ \pi }{2} -2 \pi =-1.5 \pi$  ∉   $(-3 \pi ; -\frac{3 \pi }{2} )$

$n=-3,$     $x=\frac{ \pi }{2} -3 \pi =-2.5 \pi$  ∈   $(-3 \pi ; -\frac{3 \pi }{2} )$

$n=-4,$     $x=\frac{ \pi }{2} -4 \pi =-3.5 \pi$  ∉   $(-3 \pi ; -\frac{3 \pi }{2} )$


Ответ: 
$x= \frac{ \pi }{2} + \pi n,$  $n$ ∈  $Z$ ;    $-2.5 \pi$  ∈   $(-3 \pi ; -\frac{3 \pi }{2} )$ 

Answer 2

Давайте решим уравнение $\cos^4(x) - \cos(2x) - 1 = 0$ на интервале (-3π, -3π/2).

Сначала заметим, что $\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1$, поэтому уравнение можно переписать следующим образом:

$\cos^4(x) - (2\cos^2(x) - 1) - 1 = 0$

Теперь объединим подобные слагаемые:

$\cos^4(x) - 2\cos^2(x) + 1 - 1 = 0$

И далее:

$\cos^4(x) - 2\cos^2(x) = 0$

Факторизуем уравнение:

$\cos^2(x) (\cos^2(x) - 2) = 0$

Теперь мы имеем два уравнения:

1. $\cos^2(x) = 0$
2. $\cos^2(x) - 2 = 0$

Для первого уравнения корни на интервале (-3π, -3π/2) будут:

$x_1 = -\frac{3\pi}{2}$

Для второго уравнения корни на интервале (-3π, -3π/2) будут:

$x_2 = -\frac{5\pi}{4}$ $x_3 = -\frac{7\pi}{4}$

Таким образом, уравнение $\cos^4(x) - \cos(2x) - 1 = 0$ имеет следующие корни на интервале (-3π, -3π/2):

$x_1 = -\frac{3\pi}{2}$ $x_2 = -\frac{5\pi}{4}$ $x_3 = -\frac{7\pi}{4}$