Question

Настя помоги решить)))))) Медианы AA₁,BB₁ и CC₁ треугольника ABC пересекаются в точке M. Известно, что AC=3MB a)Докажите, что треугольник ABC прямоугольный. b)Найдите сумму квадратов медиан AA₁ и CC₁, если известно, что AC=10.

Answer 1

1) пусть MB-x
т.к.MB/MB1=2/1, то BM=2/3BB1;x=2/3BB1;BB1=3/2x
AC=3x
AB1=B1C=3/2x
из этого следует, что
B1A=BB1=B1C, т.е. точка B равноудалена от вершин треугольника, а значит она является центром окружности описанной около треугольника, тогда  B=90(потому что опирается на диаметр)
2)тут по формуле медиан:
AA1²=1/4(2AC²+2AB²-BC²)
CC1²=1/4(2AC²+2BC²-AB²)
AA1²+CC1²=1/4(4AC²+AB²+BC²)=1/4(4AC²+AC²)=5/4AC²
5/4*144=5*36=180

Answer 2

Давайте рассмотрим каждую часть задачи по очереди:

a) Доказательство того, что треугольник ABC прямоугольный:

Известно, что медианы треугольника ABC пересекаются в точке M, и AC равно 3MB. Это можно представить следующим образом:

AC = 3MB

Теперь давайте рассмотрим треугольник AMC и треугольник CMB. По условию, AM - это медиана треугольника ABC, а CM - медиана треугольника CBB₁. По свойству медианы, они делят соответствующие стороны пополам. Таким образом, мы можем записать следующее:

AM = 2MC

Теперь у нас есть два равенства:

AC = 3MB AM = 2MC

Теперь давайте объединим эти равенства:

AC = 3MB = 3(2MC) = 6MC

Теперь у нас есть равенство AC = 6MC. Это означает, что отношение сторон AC и MC равно 6:1. Теперь мы знаем, что точка M делит сторону AC в отношении 6:1.

Если мы построим перпендикуляр из точки M к стороне AB (пусть он пересечет AB в точке D), то отношение AD к DB также будет равно 6:1, так как M является центром тяжести треугольника ABC. Таким образом, мы видим, что треугольник ADB подобен треугольнику AMC (по сторонам AD и MC) и треугольнику BDC подобен треугольнику CMB (по сторонам BD и MC).

Теперь, если треугольник ADB подобен треугольнику AMC, и треугольник BDC подобен треугольнику CMB, то угол BAD должен быть равен углу CAM, так как соответствующие углы подобных треугольников равны.

Теперь у нас есть прямой угол BAD и угол CAM, что делает треугольник ABC прямоугольным. Задача a) доказана.

b) Теперь найдем сумму квадратов медиан AA₁ и CC₁, если известно, что AC = 10.

Мы уже знаем, что треугольник ABC прямоугольный. Пусть точка M - это середина гипотенузы AB. Тогда медиана AA₁ также будет проходить через точку M. Поскольку M - середина стороны AB, длина медианы AA₁ равна половине длины AB.

Сначала найдем длину AB с использованием теоремы Пифагора, так как треугольник ABC прямоугольный:

AB² = AC² + BC² AB² = 10² + BC² AB² = 100 + BC²

Теперь мы знаем, что медиана AA₁ равна половине длины AB, так что:

AA₁² = (1/2)AB² = (1/2)(100 + BC²)

Теперь нам нужно найти длину медианы CC₁. Поскольку M - середина гипотенузы AC, медиана CC₁ также будет проходить через точку M. Поскольку M - середина стороны AC, длина медианы CC₁ равна половине длины AC.

Таким образом, CC₁² = (1/2)AC² = (1/2)(10²) = 50

Теперь мы знаем длины медиан AA₁ и CC₁, и можем найти их сумму:

AA₁² + CC₁² = (1/2)(100 + BC²) + 50 = 50 + (1/2)BC² + 50 = 100 + (1/2)BC²

Теперь задача b) решена. Сумма квадратов медиан AA₁ и CC₁ равна 100 + (1/2)BC².