Question

Найти производную функции f(x)=(ax^2+bx+c)^n

Answer 1

$f'(x)=((ax^2+bx+c)^n)'=n*(ax^2+bx+c)^{n-1}*(ax^2+bx+c)'=\\=n*(ax^2+bx+c)^{n-1}*(2ax+b)$

Answer 2

Для нахождения производной функции $f(x) = (ax^2 + bx + c)^n$, где $a$, $b$, $c$ и $n$ - константы, воспользуемся цепным правилом (правилом дифференцирования сложной функции). Сначала найдем производную внутренней функции $(ax^2 + bx + c)$, а затем умножим ее на производную внешней функции $(u^n)$, где $u = ax^2 + bx + c$. Давайте начнем:

1. Найдем производную внутренней функции $(ax^2 + bx + c)$:

   $$\frac{d}{dx}(ax^2 + bx + c) = 2ax + b$$

2. Теперь найдем производную внешней функции $(u^n)$, где $u = ax^2 + bx + c$:

   $$\frac{d}{du}(u^n) = n \cdot u^{(n-1)}$$

3. Теперь мы умножаем производную внешней функции на производную внутренней функции, используя цепное правило:

   $$\frac{d}{dx}(u^n) = \frac{d}{du}(u^n) \cdot \frac{d}{dx}(ax^2 + bx + c)$$
   $$\frac{d}{dx}(u^n) = n \cdot u^{(n-1)} \cdot (2ax + b)$$

4. Заменяем обратно $u$ на $ax^2 + bx + c$:

   $$\frac{d}{dx}((ax^2 + bx + c)^n) = n \cdot (ax^2 + bx + c)^{(n-1)} \cdot (2ax + b)$$

Это и есть производная функции $f(x) = (ax^2 + bx + c)^n$.