Question

Напишите уравнение касательной к графику функции y=sin x/2 в точке с абсциссой X=пи/2

Answer 1

Y = sin(x/2) ;   x₀ = π/2
Решение
Запишем уравнение касательной в общем виде:
yk = y₀ + y'(x₀)(x - x₀)
По условию задачи x₀ = (π)/2, тогда:
y₀ = sin[(π/2)/2] = sin(π/4) = (√2/2)
Теперь найдем производную:
y' = (sin(x/2))' = (1/2)*cos(x/2)
y' (π/2) = (1/2)*cos[(π/2)* / 2] = (1/2)*cos(π/4) = (1/2)/(√2/2) = (√2/4)
Таким образом получаем искомое уравнение касательной:
yk = (√2/2) + (√2/4) * [x - (π/2)]
или
yk = (√2/2) - (π√2)/8) + (√2/4)*x

Answer 2

Чтобы найти уравнение касательной к графику функции $y = \sin\left(\frac{x}{2}\right)$ в точке с абсциссой $X = \frac{\pi}{2}$, нам сначала нужно найти производную этой функции, а затем использовать её значение в точке $\frac{\pi}{2}$ для построения уравнения касательной.

Первым шагом найдем производную функции $y = \sin\left(\frac{x}{2}\right)$. Используя правило цепочки, мы получим:

$$\frac{dy}{dx} = \cos\left(\frac{x}{2}\right) \cdot \frac{1}{2}$$

Теперь мы знаем, что производная функции в точке $\frac{\pi}{2}$ равна:

$$\frac{dy}{dx}\bigg|_{x = \frac{\pi}{2}} = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$$

Теперь у нас есть производная функции в точке $\frac{\pi}{2}$, и мы можем использовать эту информацию для построения уравнения касательной. Уравнение касательной имеет следующий вид:

$$y - y_1 = m(x - x_1)$$

где $(x_1, y_1)$ - это точка, в которой мы строим касательную, $m$ - значение производной в этой точке. Теперь мы можем подставить значения:

$$y - \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{4}\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$$

$$y - \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$$

Это уравнение является уравнением касательной к графику функции $y = \sin\left(\frac{x}{2}\right)$ в точке $\frac{\pi}{2}$.