Question

На ЕГЭ попалось, задание 15 a)2cos^2x + 2 sqrt(2)cos(pi/2 - x) + 1=0 b)[ 3pi/2; 3pi]

Answer 1

Получится вот так :)

Answer 2

Для решения этой задачи нам нужно найти значения угла x в заданном интервале [3π/2, 3π], которые удовлетворяют уравнению:

a) 2cos^2(x) + 2√2cos(π/2 - x) + 1 = 0

Давайте разберемся с этим уравнением шаг за шагом.

1. Начнем с упрощения уравнения. Заметим, что cos(π/2 - x) = sin(x). Мы можем заменить это в уравнении:

2cos^2(x) + 2√2sin(x) + 1 = 0

2. Теперь заметим, что 2cos^2(x) = 1 + cos(2x). Мы можем внести эту подстановку:

1 + cos(2x) + 2√2sin(x) + 1 = 0

3. Теперь объединим два слагаемых 1:

2 + cos(2x) + 2√2sin(x) = 0

4. Перенесем 2 на другую сторону:

cos(2x) + 2√2sin(x) = -2

5. Воспользуемся формулой для sin(2x):

sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

Теперь мы можем переписать уравнение:

cos(2x) + 2√2sin(x) = -2

cos(2x) + √2 * 2sin(x)cos(x) = -2

cos(2x) + √2 * sin(2x) = -2

6. Теперь мы видим, что у нас есть сумма двух тригонометрических функций. Мы можем воспользоваться формулой сложения для cos:

cos(α + β) = cos(α)cos(β) - sin(α)sin(β)

В данном случае α = 2x, а β = π/4 (так как √2 = 2^(1/2) = cos(π/4)):

cos(2x + π/4) = -2

7. Теперь мы можем решить это уравнение:

2x + π/4 = arccos(-2)

8. Решите это уравнение для x:

2x = arccos(-2) - π/4

x = (arccos(-2) - π/4) / 2

Теперь вам нужно вычислить значение arccos(-2) и разделить его на 2, чтобы найти x. Пожалуйста, используйте калькулятор для вычислений. Напоминаю, что arccos(-2) не имеет реальных численных значений в стандартных областях определения арккосинуса, поэтому это уравнение, возможно, не имеет реальных решений.