Question

Исследовать функцию на непрерывность и построить график Даю 100 баллов f(x) = x / (x^2 -2)

Answer 1

$f(x)= \frac{x}{x^2-2} ; x \neq \sqrt{2} ; x \neq - \sqrt{2}$ так как при этих значениях аргумента знаменатель равен нулю , а на ноль делить нельзя 
$D(y)=$(-∞; -√2)U(-√2;√2)U(√2;+∞)
$x_1\ \textless \ x_2 ; \frac{x_1(x_1^2-2)}{(x_1^2-2)(x_1^2-2)} \ \textless \ \frac{x_2(x_2^2-2)}{(x_2^2-2)(x_2^2-2)} ;$ Отбросим знаменатель тк он всегда положительный , тогда сравниваем  $x_1(x_1^2-2)\ \textless \ x_2(x_2^2-2) ;$ и при любых х получим , что  $f(x_1)\ \textgreater \ f(x_2)$ функция убывающая 

Answer 2

F(x)=x/(x²-2)
D(f)∈(-∞;-√2) U (-√2;√2) U (√2;∞)
f(-x)=-x/(x²-2) нечетная
x=0  y=0  (0;0) тоска пересечения с осями
f`(x)=(x²-2-2x²)/(x²-2)²=(-x²-2)/(x²-2)²=0
-x²-2<0 при любом х⇒функция убывает на всей D(f)

Answer 3

Для исследования функции f(x) = x / (x^2 - 2) на непрерывность, мы должны учесть два аспекта:

1. Определение области определения функции, где знаменатель не равен нулю.
2. Исследование на существование разрывов или асимптот в этой области.

Давайте начнем с первого шага.

1. Определение области определения функции: Знаменатель x^2 - 2 не должен равняться нулю, чтобы функция была определена. Это означает, что: x^2 - 2 ≠ 0 x^2 ≠ 2 x ≠ ±√2

   Таким образом, областью определения функции является множество всех x, за исключением x = √2 и x = -√2.

2. Исследование на наличие разрывов или асимптот: Для этого нам нужно исследовать функцию в окрестности точек x = √2 и x = -√2.

   a) Рассмотрим окрестность x = √2: При x, близком к √2, функция f(x) выглядит следующим образом: f(x) ≈ √2 / ((√2)^2 - 2) = √2 / (2 - 2) = √2 / 0

   Заметим, что в данном случае знаменатель равен нулю, и функция не определена в этой точке. Таким образом, у нас есть вертикальная асимптота в точке x = √2.

   b) Рассмотрим окрестность x = -√2: Аналогично, при x, близком к -√2, функция f(x) будет иметь вертикальную асимптоту в точке x = -√2.

Теперь давайте построим график функции f(x) на основе этой информации:

perlCopy code
  ^
  |
  |      /
  |     /
  |    /
  |   /
  |  /
  | /     ------------------------> x
  |/
  |\
  | \
  |  \
  |   \
  |

На графике видно, что функция f(x) имеет две вертикальные асимптоты в точках x = √2 и x = -√2, и она непрерывна в остальной части своей области определения.

График фактически будет состоять из двух гиперболических ветвей, одна из которых находится в верхней полуплоскости, а другая в нижней полуплоскости, разделенные вертикальной асимптотой в точке x = √2 и x = -√2.

Надеюсь, это помогло вам понять непрерывность функции f(x) и построить ее график.