Question

Логарифмические уравнения 2log^2(⅔)X-9log(⅔)X+4=0 В (⅔) - основания логарифма

Answer 1

ОДЗ x>0
log(2/3)x=a
2a²-9a+4=0
D=81-32=49
a1=(9-7)/4=1/2⇒log(2/3)x=1/2⇒x=√6/3
a2=(9+7)/4=4⇒log(2/3)x=4⇒x=16/81

Answer 2

Давайте решим данное логарифмическое уравнение шаг за шагом. У вас дано уравнение:

$2\log_{\frac{2}{3}}^2(X) - 9\log_{\frac{2}{3}}(X) + 4 = 0.$

Для упрощения обозначим $\log_{\frac{2}{3}}(X)$ как $u$, тогда уравнение примет следующий вид:

$2u^2 - 9u + 4 = 0.$

Давайте решим это квадратное уравнение с переменной $u$:

$2u^2 - 9u + 4 = 0.$

Мы можем попытаться разложить это уравнение на множители или использовать квадратное уравнение. Если мы попробуем разложить его, то нам нужно найти два числа, произведение которых равно $2 \cdot 4 = 8$, а сумма равна $-9$. Такие числа это -8 и -1. Теперь мы можем разложить уравнение:

$2u^2 - 9u + 4 = 0$ $2u^2 - 8u - u + 4 = 0$ $2u(u - 4) - (u - 4) = 0$ $(2u - 1)(u - 4) = 0.$

Теперь решим два уравнения:

1. $2u - 1 = 0$ $2u = 1$ $u = \frac{1}{2}.$

2. $u - 4 = 0$ $u = 4.$

Теперь вернемся к обозначению $u = \log_{\frac{2}{3}}(X)$ и решим уравнения относительно $X$:

1. $\log_{\frac{2}{3}}(X) = \frac{1}{2}$ $X = \left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{1}{2}}$ $X = \sqrt{\frac{2}{3}}.$

2. $\log_{\frac{2}{3}}(X) = 4$ $X = \left(\frac{2}{3}\right)^4$ $X = \frac{16}{81}.$

Итак, у нас два решения: $X = \sqrt{\frac{2}{3}}$ и $X = \frac{16}{81}$.