Question

Найдите наименьшее значение функции y=x^3-8x^2+16x на отрезке [2,5;13]

Answer 1

Y=x³-8x²+16x
y'=3x² -16x +16

3x² - 16x +16=0
D=(-16)² - 4*3*16 =256 - 192= 64=8²
x₁=⁽¹⁶⁻⁸⁾/₆=⁸/₆=⁴/₃= 1 ¹/₃∉[2.5; 13]
x₂=⁽¹⁶⁺⁸⁾/₆=²⁴/₆=4∈[2.5; 13]

При х=2,5
y=(2.5)³ - 8*(2.5)² + 16*2.5=15.625-50+40=5.625

При x=4
y=4³-8*4²+16*4=64-128+64=0 - наименьшее значение

При х=13
y=13³ - 8*13²+16*13=13(13² -8*13+16)=13*(169-104+16)=13*81=1053

Ответ: 0.

Answer 2

Y`=3x²-16x+16=0
D=256-192=64
x1=(16-8)/6=4/3∉[2,5;13]
x2=(16+8)/6=4∈[2,5;13]
y(2,5)=15,625-50+40=5,625
y(4)=64-128+64=0 наим
y(13)=2197-1352+208=1053

Answer 3

Для поиска наименьшего значения функции $y = x^3 - 8x^2 + 16x$ на заданном отрезке $[2,5;13]$, нужно найти критические точки (где производная равна нулю или не существует) и значения функции на концах отрезка, затем выбрать наименьшее из них.

1. Найдем производную функции $y = x^3 - 8x^2 + 16x$: $y' = 3x^2 - 16x + 16.$

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю и решив уравнение: $3x^2 - 16x + 16 = 0.$

Это квадратное уравнение можно решить с помощью квадратного корня или факторизации, или же воспользоваться формулой дискриминанта. Решив его, мы найдем две критические точки: $x_1 \approx 2.39$ и $x_2 \approx 5.61$.

3. Вычислим значения функции в найденных критических точках и на концах отрезка:

• $y(2.39) \approx 2.6$,
• $y(5.61) \approx -7.5$,
• $y(2.5) = 2.5^3 - 8 \cdot 2.5^2 + 16 \cdot 2.5 = -3.125$,
• $y(13) = 13^3 - 8 \cdot 13^2 + 16 \cdot 13 = 482$.

Наименьшее значение функции $y$ на отрезке $[2.5;13]$ равно приблизительно -7.5 и достигается в точке $x \approx 5.61$.