Question

Запишите уравнение окружности радиусом 5,которая проходит через точку (-1;6), а её центр находится на биссектрисе первой координатной четверти

Answer 1

Уравнение биссектрисы первой координатной плоскости y=x, y≥0, x≥0.
Найдем все точки на этой прямой, расстояние от которых до точки (-1;6) =5
√((x-(-1))^2 +(y-6)^2)=5, (x+1)^2+(y-6)^2=25, т.к. y=x, тогда
(x+1)^2+(x-6)^2=25, x^2+2x+1+x^2-12x+36=25, 2x^2-10x+12=0,
x^2-5x+6=0, (x-3)(x-2)=0, получаем 2 точки центра окружности и 2 уравнения
1)x=3, y=3, (x-3)^2+(y-3)^2=5^2
2)x=2, y=2, (x-2)^2+(y-2)^2=5^2

Answer 2

Чтобы найти уравнение окружности с заданными условиями, давайте разберемся шаг за шагом.

1. Центр окружности находится на биссектрисе первой координатной четверти. Это означает, что координаты центра будут одинаковыми и положительными. Пусть координаты центра окружности будут (x, x), где x - положительное число.

2. Окружность проходит через точку (-1, 6). Это означает, что расстояние от центра окружности до этой точки равно радиусу (5):

   Расстояние = √((x - (-1))^2 + (x - 6)^2) = 5.

3. Решим уравнение относительно x:

   √((x + 1)^2 + (x - 6)^2) = 5.

   (x + 1)^2 + (x - 6)^2 = 25.

   Раскроем квадраты:

   x^2 + 2x + 1 + x^2 - 12x + 36 = 25.

   2x^2 - 10x + 12 = 0.

4. Решим полученное квадратное уравнение:

   x^2 - 5x + 6 = 0.

   (x - 2)(x - 3) = 0.

   Отсюда получаем два возможных значения x: x = 2 или x = 3.

Итак, центр окружности может иметь координаты (2, 2) или (3, 3), так как они лежат на биссектрисе первой координатной четверти. Выберем, например, (2, 2).

Теперь мы можем записать окончательное уравнение окружности с центром в точке (2, 2) и радиусом 5:

(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 5^2.

Упростив:

(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 25.

Это и есть уравнение окружности, которая проходит через точку (-1, 6), а её центр находится на биссектрисе первой координатной четверти.