Question

Найти точки разрыва и указать их род: f (x) = sin x÷ ΙxΙ

Answer 1

Один из замечательных пределов:
$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}x=1$

При приближении к 0 слева (со стороны отрицательных x) |x| = -x, и предел слева равен -1:
$\lim\limits_{x\to-0} \dfrac{\sin x}{|x|}= -\lim\limits_{x\to-0} \dfrac{\sin x}{x}=-1$

Аналогично, при приближении к 0 справа односторонний предел равен 1:
$\lim\limits_{x\to+0} \dfrac{\sin x}{|x|}= \lim\limits_{x\to+0} \dfrac{\sin x}{x}=1$

Итого имеем точку разрыва x = 0, в которой оба односторонних предела существуют и конечны, но не равны между собой. Это точка конечного разрыва, точка разрыва 1 рода.

Других точек разрыва нет, функция ведет себя хорошо.

Answer 2

Давайте рассмотрим функцию $f(x) = \frac{\sin x}{|x|}$. Чтобы найти точки разрыва и их род, мы должны исследовать поведение функции вблизи нуля, так как именно там находится абсолютное значение в знаменателе.

Заметим, что знаменатель $|x|$ обращается в ноль при $x = 0$, а синус также ограничен в интервале $-1 \leq \sin x \leq 1$. Следовательно, функция $f(x)$ будет иметь разрыв в точке $x = 0$.

Теперь давайте рассмотрим поведение функции вблизи точки разрыва:

1. Предел $\lim_{{x \to 0^+}} f(x)$ - подход к нулю справа: $\lim_{{x \to 0^+}} \frac{\sin x}{x}$ Этот предел существует и равен 1, так как $\frac{\sin x}{x}$ имеет предел 1 при $x \to 0$.

2. Предел $\lim_{{x \to 0^-}} f(x)$ - подход к нулю слева: $\lim_{{x \to 0^-}} \frac{\sin x}{-x}$ Этот предел также существует и равен -1.

Итак, у нас есть два разных конечных значений для функции, когда $x$ подходит к 0 справа и слева. Это означает, что у функции $f(x)$ есть разрыв первого рода (разрыв разрешенного типа) в точке $x = 0$.