Question

При каких значениях а уравнение имеет решение: tg"квадрат"x-tgx(2a-1)-a+1=0 ?

Answer 1

Решение смотри ниже.

Answer 2

Для того чтобы определить при каких значениях а уравнение имеет решение, надо решить уравнение относительно x и выразить x через а. Начнем с данного уравнения:

tg^2(x) - tg(x)(2a-1) - a + 1 = 0

Для удобства, введем временную переменную z = tg(x), тогда уравнение можно переписать следующим образом:

z^2 - z(2a-1) - a + 1 = 0

Теперь решим квадратное уравнение относительно z:

D = (2a-1)^2 - 4(1-a+1) = 4a^2 - 4a + 1 - 4 + 4a - 4a = 4a^2 - 3

Корни уравнения z_1 и z_2:

z_1 = (1 - 2a + √D) / 2 = (1 - 2a + √(4a^2 - 3)) / 2 z_2 = (1 - 2a - √D) / 2 = (1 - 2a - √(4a^2 - 3)) / 2

Так как z = tg(x), чтобы уравнение имело решение, необходимо, чтобы существовали значения tg(x) = z_1 и tg(x) = z_2. Но заметим, что для tg(x) значения ограничены диапазоном (-∞, +∞), что означает, что значения z = tg(x) также лежат в интервале (-∞, +∞).

Чтобы решения существовали, значения z_1 и z_2 должны принадлежать интервалу (-∞, +∞). Таким образом, нам необходимо, чтобы дискриминант D был больше или равен нулю:

4a^2 - 3 ≥ 0

4a^2 ≥ 3

a^2 ≥ 3/4

Чтобы это было верно, a должно лежать в интервале:

a ∈ (-∞, -√(3)/2] ∪ [√(3)/2, +∞)

Таким образом, уравнение будет иметь решение при всех значениях а из указанного интервала.