Question

Вычислите производные функций f(x)=x^3+x под корнем Можете пожалуйста объяснить

Answer 1

См скриншот
========================

Answer 2

Для вычисления производной функции $f(x) = \sqrt{x^3 + x}$ сначала найдем производную внутренней функции $g(x) = x^3 + x$, а затем вычислим производную внешней функции $\sqrt{x}$.

Шаг 1: Найдем производную внутренней функции $g(x)$.

Применим правила дифференцирования для функции $g(x)$:

1. Производная суммы равна сумме производных.
2. Производная $x^n$ равна $n \cdot x^{n-1}$.

$g'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 + x) = 3x^2 + 1$.

Шаг 2: Найдем производную внешней функции $f(x) = \sqrt{g(x)}$.

Для этого используем правило дифференцирования сложной функции: Если $u(x) = \sqrt{x}$ и $v(x) = g(x) = x^3 + x$, то производная композиции $f(x) = u(v(x))$ равна $f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x)$.

Так как $u(x) = \sqrt{x}$, то $u'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Подставим $v(x)$ и $v'(x)$: $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{g(x)}} \cdot (3x^2 + 1)$.

Таким образом, производная функции $f(x) = \sqrt{x^3 + x}$ равна: $f'(x) = \frac{3x^2 + 1}{2\sqrt{x^3 + x}}$.