Question

упростите выражение sin²(3\pi\2- \alpha)+cos²(3\pi\2-\alpha)\ctg²( \alpha -\pi )*tg²( \alpha -\pi )

Answer 1

$\frac{sin^2(\frac{3\pi}{2}-a)+cos^2(\frac{3\pi}{2}-a)}{ctg^2(a-\pi )\cdot tg^2(a-\pi )}=[\, sin^2x+cos^2x=1\; ,\; x=\frac{3\pi}{2}-a\; ;\\\\tgx\cdot ctgx=1\; ,\; x=a-\pi \, ]=\frac{1}{1^2}=1$

Answer 2

Для упрощения данного выражения воспользуемся тригонометрическими тождествами:

1. Тождество синуса: sin²(x) + cos²(x) = 1.
2. Тождество котангенса: 1 + ctg²(x) = csc²(x).
3. Тождество тангенса: 1 + tg²(x) = sec²(x).

Теперь применим эти тождества к выражению:

sin²(3π/2 - α) + cos²(3π/2 - α) * ctg²(α - π) * tg²(α - π)

= 1 + ctg²(α - π) * tg²(α - π)

= 1 + (csc²(α - π) - 1) * (sec²(α - π) - 1)

= 1 + csc²(α - π) * sec²(α - π) - csc²(α - π) - sec²(α - π) + 1

Заметим, что csc²(α - π) * sec²(α - π) = 1 (по тождеству секанса).

Таким образом, остается:

1 + 1 - csc²(α - π) - sec²(α - π)

= 2 - csc²(α - π) - sec²(α - π)

Окончательный упрощенный ответ: 2 - csc²(α - π) - sec²(α - π).