Question

Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций: Y=X^2+2, Y=1-X^2, X=1, X=0

Answer 1

$S= \int\limits^1_0\Big ((x^2+2)-(1-x^2)\Big )\, dx= \int\limits^1_0(2x^2+1)\, dx=\\\\=(\frac{2x^3}{3}+x)\Big |_0^1=\frac{2}{3}+1=\frac{5}{3}$

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций Y=X^2+2, Y=1-X^2, X=1 и X=0, мы должны сначала определить область, которую ограничивают эти функции, а затем вычислить площадь этой области.

1. Найдем точки пересечения графиков функций Y=X^2+2 и Y=1-X^2: X^2+2 = 1-X^2 2X^2 = -1 X^2 = -1/2

Это уравнение не имеет решений в действительных числах, поскольку квадрат числа не может быть отрицательным. Значит, графики этих функций не пересекаются.

2. Теперь построим графики функций Y=X^2+2 и Y=1-X^2, чтобы определить их взаимное расположение:

Построение графика Y=X^2+2: Для X=0: Y = 0^2 + 2 = 2 Для X=1: Y = 1^2 + 2 = 3

Получаем точки (0, 2) и (1, 3).

Построение графика Y=1-X^2: Для X=0: Y = 1 - 0^2 = 1 Для X=1: Y = 1 - 1^2 = 0

Получаем точки (0, 1) и (1, 0).

Графики выглядят следующим образом:

scssCopy code
         3  |   Y = X^2 + 2
            |
         2  |        * (1, 3)
            |
         1  |            * (0, 2)
            |
         0  |_____________________________
            |    0   |   1   |   2   |   3
                      X

scssCopy code
         1  |   Y = 1 - X^2
            |
         0  |        * (1, 0)
            |
        -1  |            * (0, 1)
            |
        -2  |_____________________________
            |    0   |   1   |   2   |   3
                      X

3. Площадь фигуры, ограниченной графиками этих функций, можно вычислить как разность площадей между криволинейным сегментом графика функции Y=X^2+2 и криволинейным сегментом графика функции Y=1-X^2.

Площадь криволинейного сегмента графика функции Y=X^2+2: ∫[0,1] (X^2+2) dX = (X^3/3 + 2X) |[0,1] = (1/3 + 2) - (0/3 + 0) = 7/3

Площадь криволинейного сегмента графика функции Y=1-X^2: ∫[0,1] (1-X^2) dX = (X - X^3/3) |[0,1] = (1 - 1/3) - (0 - 0) = 2/3

Итак, площадь фигуры, ограниченной графиками функций Y=X^2+2 и Y=1-X^2, составляет: Площадь = Площадь(Y=X^2+2) - Площадь(Y=1-X^2) = 7/3 - 2/3 = 5/3 или около 1.67 (в приближенных значениях).

Таким образом, площадь этой фигуры составляет примерно 5/3 квадратных единиц или около 1.67 квадратных единиц.