Question

Точка рухається за законом S ( t ) = t^5 + 4 t ^2 . Знайдіть швидкість руху її прискорення через 1 сек, після початку руху

Answer 1

V(t)=s'(t)
v(t)=(t⁵+4t²)'=5t⁴+8t
t=1 сек, v(1)=5*1⁴+8*1=13

v(1)= 13 м/сек

a(t)=s''(t)
a(t)=(t⁵+4t²)''=(5t⁴+8t)'=20t³+8
a(1)=20*1³+8=28

a(1)=28 м/сек²

Answer 2

Для знаходження швидкості та прискорення точки, необхідно взяти похідні від функції відстані $S(t)$ відносно часу $t$.

1. Знайдемо першу похідну $v(t)$ (швидкість) функції $S(t)$ відносно $t$:

$v(t) = \frac{dS(t)}{dt} = \frac{d}{dt}(t^5 + 4t^2)$

Для знаходження похідної потрібно використати правило диференціювання суми і добутку функцій. Згідно з цим правилом, похідна суми рівна сумі похідних:

$v(t) = \frac{d}{dt}(t^5) + \frac{d}{dt}(4t^2)$

Також використаємо правило диференціювання степеневої функції $f(t) = t^n$, де $n$ - дійсне число:

$\frac{d}{dt}(t^n) = n \cdot t^{n-1}$

Виходить:

$v(t) = 5t^4 + 8t$

2. Знайдемо другу похідну $a(t)$ (прискорення) функції $S(t)$ відносно $t$:

$a(t) = \frac{dv(t)}{dt} = \frac{d}{dt}(5t^4 + 8t)$

Знову застосуємо правило диференціювання степеневої функції, а також правило диференціювання суми:

$a(t) = \frac{d}{dt}(5t^4) + \frac{d}{dt}(8t)$

$a(t) = 20t^3 + 8$

3. Знаходимо швидкість та прискорення в $t = 1$ секунді:

$v(1) = 5(1)^4 + 8(1) = 5 + 8 = 13$

$a(1) = 20(1)^3 + 8 = 20 + 8 = 28$

Таким чином, швидкість руху точки через 1 секунду після початку руху буде $13$ одиниць відстані за одиницю часу, а прискорення - $28$ одиниць відстані за квадрат одиниці часу. Обидві величини залежать від вибраної одиниці відстані та одиниці часу.