Question

Інтеграл -1 до 2(1/2x^2-4x+5x-1)dxобчисліть

Answer 1

Решение задания смотри на фотографии

Answer 2

Для обчислення даного інтегралу, спочатку здійснимо операції обчислення первісної функції (антипохідна) від заданої функції, а потім знайдемо різницю значень антипохідної на кінцях інтервалу. Давайте зробимо це крок за кроком:

Інтеграл ∫(-1 до 2) (1/2x^2 - 4x + 5x - 1) dx

Спочатку інтегруємо кожне додане окремо:

∫(1/2x^2) dx = (1/2) * (x^2/2) + C1 = x^2/4 + C1

∫(-4x) dx = -4 * (x^2/2) + C2 = -2x^2 + C2

∫(5x) dx = 5 * (x^2/2) + C3 = (5/2) * x^2 + C3

∫(-1) dx = -x + C4

Тепер зіберемо всі частини разом:

∫(-1 до 2) (1/2x^2 - 4x + 5x - 1) dx = ∫(-1 до 2) (x^2/4 - 2x^2 + (5/2)x^2 - x) dx

Тепер обчислимо окремі частини в межах від -1 до 2:

= [(x^2/4 + C1) - (2x^2 + C2) + ((5/2) * x^2 + C3) - (x + C4)] от -1 до 2

Підставимо верхню межу (2):

= [(2^2/4 + C1) - (2 * 2^2 + C2) + ((5/2) * 2^2 + C3) - (2 + C4)]

= [(1 + C1) - (8 + C2) + (10 + C3) - (2 + C4)]

Тепер підставимо нижню межу (-1):

= [((-1)^2/4 + C1) - (2 * (-1)^2 + C2) + ((5/2) * (-1)^2 + C3) - ((-1) + C4)]

= [(1/4 + C1) - (2 + C2) + (5/2 + C3) - (-1 + C4)]

Тепер віднімемо значення при нижній межі від значення при верхній межі:

= [(1 + C1) - (8 + C2) + (10 + C3) - (2 + C4)] - [(1/4 + C1) - (2 + C2) + (5/2 + C3) - (-1 + C4)]

= [1 + C1 - 8 - C2 + 10 + C3 - 2 - C4] - [1/4 + C1 - 2 - C2 + 5/2 + C3 + 1 - C4]

За бажанням, багато з цих констант можуть зникнути, тому що вони змінять один одного.

= [7 - C2 + C3 - C4] - [3/4 - C2 + C3 - C4]

Тепер зменшимо дужки:

= 7 - C2 + C3 - C4 - 3/4 + C2 - C3 + C4

Багато констант скасовуються:

= 7 - 3/4

Тепер знайдемо остаточне значення:

= 6.25

Таким чином, інтеграл ∫(-1 до 2) (1/2x^2 - 4x + 5x - 1) dx дорівнює 6.25.