Question

Найдите минимальное значение функции f(x) = 4^x - 2^(x+4) + 100

Answer 1

F'(x)=2 это производная
её по идее надо прировнять к нулю,но вот хер ты её прировняешь,у тебя просто нет неизвестного,дольше 2 подставь вместо х и находи точки

Answer 2

Для нахождения минимального значения функции f(x) = 4^x - 2^(x+4) + 100, найдем производную функции по переменной x и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки:

1. Найдем производную функции f(x):

f'(x) = d/dx (4^x - 2^(x+4) + 100) = 4^x * ln(4) - 2^(x+4) * ln(2)

2. Приравняем производную к нулю и решим уравнение:

4^x * ln(4) - 2^(x+4) * ln(2) = 0

3. Приведем выражение к общему основанию (4):

(2^2)^x * ln(4) - 2^(x+4) * ln(2) = 0

4. Используем свойство a^(b*c) = (a^b)^c:

2^(2x) * ln(4) - 2^(x+4) * ln(2) = 0

5. Выразим общую степень 2^(x+4) через 2^(2x):

2^(x+4) = 2^(2x) * 2^4 = 16 * 2^(2x)

6. Подставим обратно в уравнение:

2^(2x) * ln(4) - 16 * 2^(2x) * ln(2) = 0

7. Вынесем общий множитель 2^(2x):

2^(2x) * (ln(4) - 16 * ln(2)) = 0

Теперь решим получившееся уравнение:

1. 2^(2x) = 0 - это невозможно, так как 2^x всегда положителен.

2. ln(4) - 16 * ln(2) = 0

ln(4) = ln(2^2) = 2 * ln(2)

Таким образом, уравнение ln(4) - 16 * ln(2) = 0 эквивалентно уравнению 2 * ln(2) - 16 * ln(2) = 0:

2 * ln(2) - 16 * ln(2) = -14 * ln(2) = 0

Теперь найдем значение x, используя уравнение 2^(x+4) = 16 * 2^(2x):

2^(x+4) = 16 * 2^(2x)

2^x * 2^4 = 16 * 2^(2x)

16 * 2^x = 16 * 2^(2x)

2^x = 2^(2x)

x = 2x

Теперь можем найти значение x:

x = 0

Теперь найдем вторую производную функции f(x) и проверим, является ли критическая точка x = 0 минимумом:

f''(x) = d^2/dx^2 (4^x - 2^(x+4) + 100) = (4^x * ln(4))^2 - (2^(x+4) * ln(2))^2

Теперь подставим x = 0 во вторую производную:

f''(0) = (4^0 * ln(4))^2 - (2^(0+4) * ln(2))^2 = (1 * ln(4))^2 - (16 * ln(2))^2 = ln^2(4) - 256 * ln^2(2)

Так как ln^2(4) > 0 и 256 * ln^2(2) > 0, а разность положительных чисел также будет положительной, f''(0) > 0.

Это означает, что точка x = 0 является точкой минимума функции f(x) = 4^x - 2^(x+4) + 100.

Минимальное значение функции f(x) равно:

f(0) = 4^0 - 2^(0+4) + 100 = 1 - 16 + 100 = 85

Таким образом, минимальное значение функции f(x) равно 85, и достигается оно при x = 0.