Question

Якими мають бути сторони прямокутника з площею 144см^2, щоб його периметр набував найменшого значення?

Answer 1

Нехай ширина прямокутника становить х, тоди довжина - 144/х.
Р=2х+ 288/х.
Знайдемо похидну:
Рштрих=2-288/х². 
Приривняэмо похидну до нуля и знайдемо критични точки:
2-288/х²=0
-288/х²=-2
х²=288/2
х²=144
х=12 - точка-претендент на екстремум, але, оскильки похидна, проходячи через нейи, миняэ знак з минуса на плюс, то 12 - точка минимума.
Видповидь: Вони мають бути ривними 12 сантиметрам (це квадрат).

Answer 2

Щоб знайти сторони прямокутника з найменшим периметром при заданій площі, ми можемо скористатися властивостями геометрії та диференціального числення.

Позначимо сторони прямокутника як x та y (x ≥ y, оскільки ми розглядаємо тільки позитивні сторони прямокутника). Площа прямокутника S = 144 см^2.

Ми знаємо, що площа прямокутника S = x * y, а периметр P = 2 * (x + y).

1. Виразимо y з першого рівняння: y = S / x = 144 / x.

2. Підставимо це значення y у вираз для периметру: P = 2 * (x + 144 / x).

3. Знайдемо похідну P за x та прирівняємо її до нуля, щоб знайти критичні точки: dP/dx = 0.

dP/dx = 2 - 288 / x^2.

2 - 288 / x^2 = 0.

288 / x^2 = 2.

288 = 2 * x^2.

x^2 = 288 / 2.

x^2 = 144.

x = √144.

x = 12 см.

4. Знайдемо значення y, підставивши значення x у вираз для y: y = 144 / x = 144 / 12 = 12 см.

Таким чином, сторони прямокутника мають довжини 12 см та 12 см, щоб його периметр набував найменшого значення при площі 144 см^2. Прямокутник є квадратом зі стороною 12 см.