Question

Y' (x+2)=y Помогите решить пожалуйста дифференциальное уравнение с подробным решением и объяснением.

Answer 1

Данное дифференциальное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными.

$\dfrac{dy}{dx}= \dfrac{y}{x+2}$. Разделяем переменные и проинтегрируем обе части .

$\displaystyle \int \dfrac{dy}{y}= \int\dfrac{dx}{x+2} \\ \\ \ln|y|=\ln|x+2|+\ln C\\ \\ y=C(x+2)$

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение выглядит как обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Для его решения, мы можем использовать метод разделяющихся переменных.

Исходное уравнение: Y' (x+2) = y

Для начала, перепишем уравнение, разделив обе части на y: Y' / y = 1 / (x + 2)

Теперь выполним интегрирование по обеим сторонам уравнения: ∫ (Y' / y) dx = ∫ (1 / (x + 2)) dx

Для интегрирования левой части, выполним замену переменной: пусть v = y, тогда dv = Y' dx. Интеграл станет: ∫ (1 / v) dv = ∫ (1 / (x + 2)) dx

Теперь проинтегрируем обе стороны: ln|v| = ln|x + 2| + C₁

где C₁ - постоянная интегрирования.

Используя свойство логарифма, можем переписать левую часть уравнения: ln|v| = ln(v)

Итак, уравнение станет: ln(y) = ln|x + 2| + C₁

Теперь применим экспоненту к обеим сторонам уравнения: e^(ln(y)) = e^(ln|x + 2| + C₁)

Так как e^(ln(a)) = a для любого положительного a, то можем записать: y = e^(ln|x + 2| + C₁)

Теперь используем свойства экспоненты и логарифма для упрощения уравнения: y = e^(ln|x + 2|) * e^(C₁)

e^(ln(a)) = a, поэтому: y = |x + 2| * e^(C₁)

Теперь здесь e^(C₁) - это другая произвольная константа, назовем ее просто C.

Итак, решение дифференциального уравнения: y = C * |x + 2|

Это общее решение данного дифференциального уравнения первого порядка. Чтобы получить частное решение, нужно знать начальные условия (начальное значение функции y или ее производной Y' в какой-то точке). Если у вас есть дополнительные условия, то с их помощью можно определить конкретное значение C.