Question

Решииитее!! log (2x^2 -5x+3) по основанию 6х^2 - х- 1 ≥0

Answer 1

$\mathtt{\log_{6x^2-x-1}(2x^2-5x+3)\geq0;~\frac{\lg(2x^2-5x+3)}{\lg(6x^2-x-1)}\geq0}$

распишем ОДЗ сразу же, чтобы не забыть:  $\mathtt{x\in(\infty;-\frac{1}{3})U(\frac{1}{2};1)U(\frac{3}{2};+\infty)}$

$\displaystyle\mathtt{\left\{{{2x^2-5x+3\ \textgreater \ 0}\atop{6x^2-1x-1\ \textgreater \ 0}}\right\left\{{{(2x-3)(1x-1)\ \textgreater \ 0}\atop{(3x+1)(2x-1)\ \textgreater \ 0}}\right\left\{{{\left[\begin{array}{ccc}\mathtt{x\ \textless \ 1}\\\mathtt{x\ \textgreater \ \frac{3}{2}}\end{array}\right}\atop{\left[\begin{array}{ccc}\mathtt{x\ \textless \ -\frac{1}{3}}\\\mathtt{x\ \textgreater \ \frac{1}{2}}\end{array}\right}}\right}$

использовав метод рационализации, получаем: 

$\mathtt{\frac{2x^2-5x+2}{6x^2-1x-2}\geq0;~\frac{(x-\frac{1}{2})(x-2)}{(x+\frac{1}{2})(x-\frac{2}{3})}\geq0;~x\in(\infty;-\frac{1}{2})U[\frac{1}{2};\frac{2}{3})U[2;+\infty)}$

пересекя ответ неравенства с ОДЗ, получаем окончательный ответ:  $\mathtt{x\in(\infty;-\frac{1}{2})U(\frac{1}{2};\frac{2}{3})U[2;+\infty)}$

Answer 2

Чтобы решить неравенство log (2x^2 - 5x + 3) по основанию 6x^2 - x - 1 ≥ 0, нужно выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Найдите область допустимых значений (ОДЗ) логарифма. Логарифм определен только для положительных аргументов, поэтому 6x^2 - x - 1 должно быть больше нуля:

6x^2 - x - 1 > 0

Шаг 2: Решите неравенство выше. Для этого можно использовать метод интервалов или разложение на множители. Применим метод разложения на множители:

6x^2 - x - 1 > 0

(3x + 1)(2x - 1) > 0

Теперь мы видим, что это неравенство выполняется, когда оба множителя положительны или оба отрицательны. Возможны два случая:

а) 3x + 1 > 0 и 2x - 1 > 0

3x > -1 x > -1/3

2x > 1 x > 1/2

Таким образом, для этого случая, x должно быть больше -1/3 и больше 1/2.

б) 3x + 1 < 0 и 2x - 1 < 0

3x < -1 x < -1/3

2x < 1 x < 1/2

Теперь рассмотрим область допустимых значений логарифма:

ОДЗ: -1/3 < x < 1/2

Шаг 3: Теперь решим исходное неравенство log (2x^2 - 5x + 3) по основанию 6x^2 - x - 1 ≥ 0.

Так как логарифм положителен для положительных аргументов, то неравенство будет выполняться, когда аргумент (2x^2 - 5x + 3) будет больше или равен 1:

2x^2 - 5x + 3 ≥ 1

2x^2 - 5x + 2 ≥ 0

Шаг 4: Теперь решим это квадратное неравенство:

(2x - 1)(x - 2) ≥ 0

Опять же, вспоминаем, что произведение двух множителей будет положительным, если оба множителя положительны или оба отрицательны:

а) 2x - 1 > 0 и x - 2 > 0

2x > 1 x > 1/2

x > 2 (этот условие нам не подходит, так как оно уже учитывается в ОДЗ)

б) 2x - 1 < 0 и x - 2 < 0

2x < 1 x < 1/2

x < 2

Таким образом, для этого случая, x должен быть меньше 1/2 и меньше 2.

Шаг 5: Соберем все вместе. В итоге, решение неравенства:

-1/3 < x < 1/2 и x < 2 и x > 1/2

Окончательное решение: 1/2 < x < 1