Question

Упростите выражение: cosa-cos5a/2sin2a

Answer 1

Cos a-cos 5a=-2 sin(a+5a/2)*sin(a-5a/2)=-2sin(3a)*sin(-2a)=2sin(3a)*sin(2a)
cos a-cos 5a/2sin2a=2sin(3a)*sin(2a)/2sin2a=sin(3a)

Answer 2

Для упрощения данного выражения воспользуемся формулой двойного угла для косинуса:

cos(2a) = 2cos^2(a) - 1.

Также, заметим, что можно представить синус квадрата через косинус квадрата:

sin^2(a) = 1 - cos^2(a).

Теперь рассмотрим исходное выражение:

cosa - cos5a / 2sin^2(a).

Подставим в него полученные выше формулы:

cosa - cos5a / 2(1 - cos^2(a)).

Теперь разложим cos(5a) с помощью формулы для косинуса пятикратного угла:

cos(5a) = 16cos^5(a) - 20cos^3(a) + 5cos(a).

Теперь выражение будет выглядеть так:

cosa - (16cos^5(a) - 20cos^3(a) + 5cos(a)) / 2(1 - cos^2(a)).

Далее, объединим дроби:

2cos^5(a) - 5cos^3(a) + 5cos(a) / 2(1 - cos^2(a)).

Теперь заменим 2(1 - cos^2(a)) на sin^2(a):

(2cos^5(a) - 5cos^3(a) + 5cos(a)) / sin^2(a).

Получили упрощенное выражение:

(2cos^5(a) - 5cos^3(a) + 5cos(a)) / sin^2(a).