Question

Помогите, пожалуйста 1.Составьте уравнение касательной к графику функции в точке с указанной абсциссой А) y=-x²+9, x0=2 Б) y=6/x, x0=3

Answer 1

$A) y'( x_{0} )=-2x_{0}=-2*2=-4 \\y(x_{0})=-4+9=5 \\ y-y(x_{0})=y'( x_{0} )*(x-x_{0}) \\ y-5=-4*(x-2) \\ B) y'( x_{0} )= \frac{-6}{ x^{2}_{0} } = -\frac{6}{9}= -\frac{2}{3} \\ y(x_{0})=\frac{6}{ x_{0} }= \frac{6}{3}=2 \\ y-2=- \frac{2}{3} *(x-3)$

Answer 2

Для составления уравнения касательной к графику функции в заданной точке, мы должны выполнить следующие шаги:

1. Найдите производную функции по переменной x.
2. Подставьте указанную абсциссу (x0) в производную, чтобы найти значение производной в точке x0.
3. Используйте найденное значение производной и координаты точки (x0, y0) для записи уравнения касательной в форме y = mx + b, где m - это значение производной в точке x0, а b - это y0 минус произведение m и x0.

Давайте выполним эти шаги для каждой из функций:

А) y = -x² + 9

1. Найдем производную функции по переменной x: dy/dx = d/dx(-x² + 9) = -2x

2. Подставим x0 = 2 в производную: m = dy/dx |x=2 = -2 * 2 = -4

3. Найдем y0, подставив x0 = 2 в исходную функцию: y0 = -(2)² + 9 = -4 + 9 = 5

Теперь у нас есть m = -4 и точка (x0, y0) = (2, 5). Уравнение касательной будет выглядеть: y = -4x + b

Чтобы найти b, подставим точку (2, 5) в уравнение: 5 = -4 * 2 + b 5 = -8 + b b = 5 + 8 b = 13

Таким образом, уравнение касательной к графику функции y = -x² + 9 в точке x = 2 будет: y = -4x + 13

Б) y = 6/x

1. Найдем производную функции по переменной x: dy/dx = d/dx(6/x) = -6/x²

2. Подставим x0 = 3 в производную: m = dy/dx |x=3 = -6/(3)² = -6/9 = -2/3

3. Найдем y0, подставив x0 = 3 в исходную функцию: y0 = 6/3 = 2

Теперь у нас есть m = -2/3 и точка (x0, y0) = (3, 2). Уравнение касательной будет выглядеть: y = (-2/3)x + b

Чтобы найти b, подставим точку (3, 2) в уравнение: 2 = (-2/3) * 3 + b 2 = -2 + b b = 2 + 2 b = 4

Таким образом, уравнение касательной к графику функции y = 6/x в точке x = 3 будет: y = (-2/3)x + 4

Обратите внимание, что в обоих уравнениях касательных коэффициент m представляет угловой коэффициент касательной, а b представляет точку пересечения касательной с осью y (то есть значение функции в заданной точке).