Question

ОТДАЮ ДУШУ, МАТЬ И 50 БАЛЛОВ Тому, кто всё распишет, объяснит, разжует и ответит на вопросы! Как выделять полный квадрат для нахождения вершин параболы?

Answer 1

Предположим, есть уравнение:
$x^2+4x+10$

Мы должны сложить его часть в полный квадрат, то есть применить формулу

$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$

В нашем случае

$a=x$,
$2ab=4x\\2xb=4x\\2b=4\\b=2$

Значит, формула полного квадрата выглядит так:
$(a+b)^2=(x+2)^2$

Подставим её в исходное уравнение:
$x^2+4x+10=(x^2+4x+4)+6=(x+2)^2+6$ (так как $b^2=4$, то от 10 остаётся 6, которое не сворачивается в полный квадрат, то есть остаётся за скобками).

Из этой формулы видно, что абсцисса вершины параболы (то есть значение x, при котором функция принимает наименьшее значение) равна –2, а ордината вершины параболы (то есть значение функции в точке x=–2) равна 6.

Чтобы быстро применять этот метод, желательно помнить, как раскладываются выражения $(x+n)^2$ при  $n$ равных от 1 до 10 хотя бы. А вообще при больших или дробных n искать вершину таким образом неудобно. Лучше находить абсциссу вершины параболы по формуле $-b/2a$ (a и b — коэффициенты уравнения:  $ax^2+bx+c=0$)

Answer 2

Очень рад помочь! Давайте разберемся, как выделять полный квадрат для нахождения вершин параболы.

Полный квадрат - это способ представления квадратного выражения в виде квадрата двучлена (binomial squared). Если у нас есть квадратное выражение вида:

y = ax^2 + bx + c,

то чтобы найти вершину параболы (точку экстремума), можно использовать метод полного квадрата. Этот метод позволяет переписать исходное выражение в следующем виде:

y = a(x - h)^2 + k,

где (h, k) - координаты вершины параболы.

Давайте разберем каждый шаг преобразования:

1. Выносим общий множитель a из первых двух членов выражения: y = a(x^2 + (b/a)x) + c.

2. Завершаем квадратное выражение внутри скобки, добавляя и вычитая (b/2a)^2: y = a(x^2 + (b/a)x + (b/2a)^2 - (b/2a)^2) + c.

3. Группируем первые три члена внутри скобки: y = a[(x + (b/2a))^2 - (b/2a)^2] + c.

4. Раскрываем скобку, используя формулу разности квадратов: y = a(x + (b/2a))^2 - a(b/2a)^2 + c.

5. Упрощаем выражение: y = a(x + (b/2a))^2 - (b^2 / 4a) + c.

Теперь мы получили выражение в форме полного квадрата, где координаты вершины параболы (h, k) равны (-b/2a, -b^2/4a + c).

Обратите внимание, что a должно быть отличным от нуля, иначе это не будет квадратным выражением. Если a = 0, то у нас будет линейное выражение, а не парабола.

Теперь вы можете использовать этот метод, чтобы найти вершину параболы и более детально изучить её поведение. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задать их!