Question

( Постройте график функции у = х² – 4|х| + 3. Пользуясь графиком, найдите: 1) промежутки возрастания функции; 2) множество решений неравенства х² – 4|х| + 3 ≤ 0 ) Побудуйте графік функції у = х² – 4|х| + 3. Користуючись графіком, знайдіть: 1) проміжки зростання функції; 2) множину розв’язків нерівності х² – 4|х| + 3 ≤ 0.

Answer 1

Имеем функцию:
$\boxed{y=x^2-4|x|+3}$

1. Строим график $y = x^2-4x+3$. Графиком данной функции является парабола. Ветви направленны вверх, так как $a \ \textgreater \ 0$.  Вершина параболы:
$x_0 = \frac{4}{2} = 2 \\ y_0= 4-8+3=-1$
Отображаем график $y = x^2-4x+3$ относительно оси OY, для получения графика  $y = x^2-4|x|+3$

2. Функция возрастает на промежутках $(-2;0)$ и $(2;+\infty)$

3. Из неравенства видно, что нужно найти такие значения x, при которых значение функции(выражения) меньше либо равно нулю. $x \in [-3;-1] \cup [1;3]$

Answer 2

Для построения графика функции у = х² – 4|х| + 3, начнем с построения графиков компонентных частей функции: х² и -4|х|.

1. Построим графики компонентных частей:

График х² - это парабола с вершиной в точке (0, 0) и направленной вверх.

График -4|х| - это отрицательная ветвь модуля |х| и является прямой линией с наклоном -4 и проходит через точки (0, -4) и (4, 0).

2. Теперь построим график у = х² – 4|х| + 3:

Чтобы получить график функции у = х² – 4|х| + 3, объединим графики компонентных частей, учитывая знак каждого слагаемого.

• Для x ≤ 0: В этом диапазоне x² всегда положительно, а -4|х| отрицательно. Следовательно, у = х² – 4|х| + 3 будет убывать.

• Для x > 0: В этом диапазоне и x² и -4|х| положительны. Однако, при малых значениях x (0 < x < 1), модуль начинает уменьшаться быстрее, чем квадрат, и функция у = х² – 4|х| + 3 будет возрастать до тех пор, пока -4|х| не станет меньше, чем х².

• В точке пересечения x² и -4|х| (x = 1), значение функции у равно 0.

• Для x > 1: В этом диапазоне и x² и -4|х| положительны, но -4|х| по-прежнему будет больше, чем х², и функция у = х² – 4|х| + 3 будет убывать.

Теперь построим график:

luaCopy code
       |
   3   |            +-------+
       |            |       |
       |            |       |
       |            |       |
       |            |       |
   0   +------------+-------+-------->
       0           1       2

На графике видно, что функция имеет минимум в точке x = 1, где у = 0.

Теперь перейдем к решению неравенства х² – 4|х| + 3 ≤ 0:

1. Промежутки возрастания функции: Мы уже определили, что функция у = х² – 4|х| + 3 возрастает в интервале (0, 1).

2. Множество решений неравенства х² – 4|х| + 3 ≤ 0: Находим области, где график функции лежит ниже оси х (то есть, когда у ≤ 0). Эти области находятся между корнями у = 0:

3. x ≤ 0 (значение функции отрицательно)

4. x ≥ 2 (значение функции отрицательно)

Таким образом, множество решений неравенства х² – 4|х| + 3 ≤ 0:

(-∞, 0] ∪ [2, +∞)

Надеюсь, это поможет вам понять график функции и решить неравенство! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задать их.