Question

F(x)=8x^2-7-x^4 исследовать функцию

Answer 1

-x^4+8x^2-7     биквадратная,при х=0 у=-7
y'=-4x³+16x=x(-4x²+16)=0   x=0  x=-2  x=2

---------------- -2---------------------0------------------------2-------------------------
   +↑          max                    -↓min            +↑         max          -↓

Answer 2

Для исследования функции F(x) = 8x^2 - 7 - x^4, мы проведем шаг за шагом анализ этой функции.

1. Найти область определения функции: Функция F(x) определена для всех действительных значений x, поскольку в ней нет никаких ограничений на переменную x.

2. Найти производную функции: F'(x) = d/dx (8x^2 - 7 - x^4) F'(x) = 16x - 4x^3

3. Найти точки экстремума: Для этого, приравняем производную к нулю и найдем значения x: 16x - 4x^3 = 0 4x(4 - x^2) = 0 Это уравнение имеет три решения: x = 0, x = 2 и x = -2.

4. Найти значения функции в критических точках: F(0) = 8(0)^2 - 7 - (0)^4 = -7 F(2) = 8(2)^2 - 7 - (2)^4 = 16 - 7 - 16 = -7 F(-2) = 8(-2)^2 - 7 - (-2)^4 = 32 - 7 - 16 = 9

5. Найти вторую производную функции: F''(x) = d^2/dx^2 (16x - 4x^3) F''(x) = 16 - 12x^2

6. Исследовать на выпуклость и вогнутость: Для этого, найдем значения второй производной в критических точках: F''(0) = 16 - 12(0)^2 = 16 (положительное значение) F''(2) = 16 - 12(2)^2 = -40 (отрицательное значение) F''(-2) = 16 - 12(-2)^2 = -40 (отрицательное значение)

Таким образом, функция F(x) имеет следующие характеристики:

• Область определения: все действительные числа.
• Экстремумы: функция имеет локальный минимум при x = 0 и локальные максимумы при x = 2 и x = -2.
• Выпуклость и вогнутость: функция выпукла в интервалах (-∞, -2) и (0, 2), и вогнута в интервале (-2, 0) и (2, ∞).

7. Найти точки перегиба (где выпуклость меняется): Для этого, найдем значения x, при которых F''(x) = 0: 16 - 12x^2 = 0 12x^2 = 16 x^2 = 16/12 x^2 = 4/3 x = ±√(4/3)

Таким образом, точки перегиба находятся при x = √(4/3) и x = -√(4/3).

8. Найти значения функции в точках перегиба: F(√(4/3)) = 8(√(4/3))^2 - 7 - (√(4/3))^4 ≈ 2.67 F(-√(4/3)) = 8(-√(4/3))^2 - 7 - (-√(4/3))^4 ≈ 2.67

Таким образом, у нас есть две точки перегиба, и их координаты примерно равны (±√(4/3), 2.67).

Теперь мы можем построить график функции F(x) и использовать всю эту информацию для детального анализа поведения функции.