Question

дана точка А на прямой у=4 и эта точка лежит на канонической параболе. Расстояние от касательной к параболе в точке А находится на расстоянии корень из 8 от фокуса параболы.1)Найти уравнение параболы. 2) окружность с центром на оси Х касается параболы в точке А. Найти уравнение окружности?

Answer 1

1)
Каноническое уравнение параболы  $y^2=2px$ ее фокус находится в точке с координатами  $F ( \frac{p}{2},0)$ 
Координата точки  $A$ находиться в системе уравнения 
$\left \{ {{y^2=2px} \atop {y=4}} \right. \\ x = \frac{8}{p} \\ A(\frac{8}{p},4)$   Если уравнение касательной равна  $y=kx+b$ с учетом того что она проходит через точку  $A$ получаем  $k= \frac{p(4-b)}{8}$ , подставляя   $y=kx+b = \frac{p(4-b)x+8b}{8} \\ y^2=2px \\ (\frac{p(4-b)x+8b}{8})^2 = 2px \\ (p(4-b)x+8b)^2=128px \\ p^2(4-b)^2x^2+(16bp(4-b)-128p)x+64b^2=0 \\ D=0 \\ (16bp(4-b)-128p)^2-4p^2(4-b)^264b^2 = 4096(b-2)^2p^2=0\\ b=2\\ k = \frac{p}{4}\\ y = \frac{px}{4}+2$ 
 
То есть касательная будет иметь вид  $y = \frac{px}{4}+2$ 
  Положим что перпендикуляр к касательной имеет вид  $y= - \frac{4}{p}x+C$  он проходит через точку 
$F( \frac{p}{2},0)\\ -\frac{4}{p} \cdot \frac{p}{2}+C = 0 \\ C=2\\ y=-\frac{4x}{p}+2\\ \\ \left \{ {{y= \frac{px}{4}+2} \atop { y= -\frac{4x}{p}+2}} \right. \\ \left \{ {{x=0} \atop {y=2}} \right.$ 
 По условию расстояние от точки с координатами 
  $BF=\sqrt{8} \\ B(0,2) \\ F(\frac{p}{2},0) \\ \frac{p^2}{4} + 2^2 = 8 \\ p=\pm 4$ 
 Координата точки  $A(2,4)$
 Значит парабола имеет вид  $y^2 = 8x$ 
 2) 
  $(a,0)$ центр окружности (так как центр лежит на оси   $OX$)    
  Получаем систему уравнения     
  $\left \{ {{(x-a)^2+y^2=(a-2)^2+16\\ } \atop {y^2=8x}} \right.$ 
 Которая должна иметь одно решение, получаем 
$x^2+x(8-2a)+4a-20=0\\ (8-2a)^2-4(4a-20)=0 \\ 4a^2-48a+144=0 \\ 4(a-6)^2=0 \\ a=6$ 
 Получаем уравнение  окружности 
    $(x-6)^2+y^2=\sqrt{32}^2$

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, давайте следовать шаг за шагом:

1. Найдем уравнение параболы: Дано, что точка А лежит на канонической параболе. Уравнение канонической параболы имеет вид y^2 = 4ax, где a - фокусное расстояние.

Мы также знаем, что расстояние от касательной к параболе в точке А находится на расстоянии корень из 8 от фокуса параболы. Таким образом, расстояние от точки А до фокуса F равно √8 = 2√2.

Фокусное расстояние a равно половине расстояния от фокуса до прямой у=4: a = (2√2)/2 = √2.

Теперь у нас есть значение a, и мы можем записать уравнение параболы: y^2 = 4 * √2 * x.

2. Найдем уравнение окружности: Мы знаем, что окружность с центром на оси Х касается параболы в точке А. Таким образом, координата Y центра окружности будет совпадать с ординатой точки А (так как окружность центрирована на оси Х). Также, радиус окружности будет равен расстоянию от точки А до параболы.

Учитывая, что точка А лежит на параболе, мы можем подставить координаты точки А (x0, y0) в уравнение параболы для нахождения x0: y0^2 = 4 * √2 * x0, 4^2 = 4 * √2 * x0, x0 = 4 / (4 * √2), x0 = 1 / √2.

Теперь найдем расстояние от точки А до параболы, что будет равно радиусу окружности: Радиус^2 = (x - x0)^2 + (y - y0)^2, Радиус^2 = (x - 1/√2)^2 + (y - 4)^2.

Радиус окружности равен расстоянию от точки А до параболы, которое мы знаем из условия задачи и равно √8 = 2√2.

Таким образом, окончательное уравнение окружности с центром (1/√2, 4) и радиусом 2√2 имеет вид: (x - 1/√2)^2 + (y - 4)^2 = (2√2)^2, (x - 1/√2)^2 + (y - 4)^2 = 8.