Question

Докажите, что при а ≥ 1 выполняется неровность а³ + 1 ≥ а² + а.

Answer 1

A²(a - 1) ≥ a - 1
(a² - 1)(a - 1) ≥ 0
(a - 1)(a + 1)(a - 1) ≥ 0
(a - 1)²(a + 1) ≥ 0
(a - 1)² ≥ 0 – выражение в квадрате. 
a + 1 ≥ 0 при a ≥ -1, значит, и при a ≥ 1 больше нуля все выражение. 
ч.т.д. 

Answer 2

Для доказательства неравенства $a^3 + 1 \geq a^2 + a$ при $a \geq 1$, давайте разложим выражение на простые составляющие и упростим его.

Исходное неравенство: $a^3 + 1 \geq a^2 + a$

Вычитаем $a^2$ и $a$ из обеих частей неравенства:

$a^3 - a^2 - a + 1 \geq 0$

Теперь факторизуем левую часть:

$a^2(a-1) - (a-1) \geq 0$

Факторизуем общее слагаемое:

$(a-1)(a^2 - 1) \geq 0$

Разложим $a^2 - 1$:

$(a-1)(a+1) \geq 0$

Теперь у нас есть произведение двух множителей $(a-1)$ и $(a+1)$.

Если $a \geq 1$, то оба множителя будут положительными или равными нулю, так как $a-1 \geq 0$ и $a+1 \geq 2 > 0$.

Таким образом, неравенство $(a-1)(a+1) \geq 0$ выполняется при $a \geq 1$.

Следовательно, исходное неравенство $a^3 + 1 \geq a^2 + a$ также выполняется при $a \geq 1$.