Question

Помогите пжл Исследуйте функцию с помощью производной.Постройте график функции. 1.f(x)=5x^3+5x^2-2 2.f(x)=x^3+3/x-2 3.f(x)=2x/(x-1)^2

Answer 1

Первая задача производной график функции
Х принадлежит R
Макс(-⅔; -34/27)
Мин(0;-2)
Пересечение с у(0;-2)

Answer 2

Для каждой из функций, вам нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции.
2. Найти критические точки (точки, где производная равна нулю или не существует).
3. Найти интервалы возрастания и убывания.
4. Найти точки перегиба (если они есть).
5. Найти пределы функции на бесконечности (если они существуют).
6. Построить график функции с помощью полученной информации.

Давайте начнем с первой функции:

1. f(x) = 5x^3 + 5x^2 - 2

Шаг 1: Найдем производную функции f'(x): f'(x) = d/dx (5x^3 + 5x^2 - 2) = 15x^2 + 10x

Шаг 2: Найдем критические точки (точки, где производная равна нулю): 15x^2 + 10x = 0 5x(3x + 2) = 0 x = 0 или x = -2/3

Шаг 3: Найдем интервалы возрастания и убывания, используя таблицу знаков производной:

x < -2/3 | -2/3 < x < 0 | x > 0

f'(x) < 0 | f'(x) > 0 | f'(x) > 0 f(x) убывает | f(x) возрастает | f(x) возрастает

Шаг 4: Найдем точки перегиба, используя вторую производную: f''(x) = d/dx (15x^2 + 10x) = 30x + 10 Чтобы найти точку перегиба, приравняем f''(x) к нулю: 30x + 10 = 0 x = -1/3

Шаг 5: Найдем пределы функции на бесконечности: lim (x → ±∞) f(x) = ∞ (Функция убывает на отрицательной бесконечности и возрастает на положительной бесконечности)

Шаг 6: Построим график функции:

(К сожалению, я не могу непосредственно построить графики, так как я текстовая модель, но вы можете использовать программы, такие как Microsoft Excel, Google Sheets, Wolfram Alpha или любые другие математические программы, чтобы построить график функции.)

Далее, перейдем ко второй функции:

2. f(x) = x^3 + 3/x - 2

Шаг 1: Найдем производную функции f'(x): f'(x) = d/dx (x^3 + 3/x - 2) = 3x^2 - 3/x^2

Шаг 2: Найдем критические точки (точки, где производная равна нулю или не существует): 3x^2 - 3/x^2 = 0 3x^4 - 3 = 0 x^4 = 1 x = ±1

Однако, x = 0 является точкой разрыва, так как в знаменателе есть 3/x, а значения x = ±1 являются точками, где производная не существует.

Шаг 3: Найдем интервалы возрастания и убывания, используя таблицу знаков производной:

x < -1 | -1 < x < 0 | 0 < x < 1 | x > 1

f'(x) < 0 | f'(x) > 0 | f'(x) < 0 | f'(x) > 0 f(x) убывает | f(x) возрастает| f(x) убывает | f(x) возрастает

Шаг 4: Найдем точки перегиба, используя вторую производную: f''(x) = d/dx (3x^2 - 3/x^2) = 6x + 6/x^3 Чтобы найти точку перегиба, приравняем f''(x) к нулю: 6x + 6/x^3 = 0 6x^4 + 6 = 0 x^4 = -1 Так как x^4 не может быть отрицательным, у данной функции нет точек перегиба.

Шаг 5: Найдем пределы функции на бесконечности: lim (x → ±∞) f(x) = ±∞ (Функция возрастает как x стремится к бесконечности)

Шаг 6: Построим график функции:

(К сожалению, я не могу непосредственно построить графики, так как я текстовая модель, но вы можете использовать программы, такие как Microsoft Excel, Google Sheets, Wolfram Alpha или любые другие математические программы, чтобы построить график функции.)

И, наконец, третья функция:

3. f(x) = 2x/(x-1)^2

Шаг 1: Найдем производную функции f'(x): f'(x) = d/dx (2x/(x-1)^2) = (2(x-1)^2 - 2x*2(x-1))/(x-1)^4 f'(x) = (2(x-1)^2 - 4x(x-1))/(x-1)^4 f'(x) = (2(x-1)^2 - 4x^2 + 4x)/(x-1)^4