Question

Решить определенный интеграл (верхний предел 1, нижний - 1) sin2*x-cos3*x+1 dx

Answer 1

[-1;1] ∫ (sin2x-cos3x+1) dx = 
= [-1;1]  (-1/2 cos2x - 1/3 sin3x +x)  = 
= -1/2 ( cos (2*1) - cos(2*(-1) ) - 1/3 ( sin(3*1) - sin(3*(-1) )  + 1 -(-1)  =
= -1/2 ( cos (2) - cos(-2) ) - 1/3 ( sin(3) - sin(-3) )  + 2  =
= -1/2 ( cos (2) - cos(2) ) - 1/3 ( sin(3) + sin(3) )  + 2  =
= -1/2 * 0 - 1/3 * 2sin(3) + 2  =
=  2/3 * (  3 - sin(3)  )

Answer 2

Для решения данного определенного интеграла, сначала вычислим первообразную функцию от данного выражения, а затем подставим верхний и нижний пределы интегрирования.

Интегрируем каждое слагаемое по отдельности:

∫(sin^2x - cos^3x + 1) dx

Интеграл от sin^2x: ∫sin^2x dx

Используем тригонометрическую тождественную формулу sin^2x = (1 - cos2x) / 2:

∫(1 - cos2x) / 2 dx

Распределим интеграл:

(1/2) ∫(1 - cos2x) dx

Интеграл от (1 - cos2x) равен x - (1/2) * sin(2x), таким образом:

(1/2) * (x - (1/2) * sin(2x)) + C1, где C1 - произвольная постоянная интегрирования.

Интеграл от -cos^3x: ∫-cos^3x dx

Используем тригонометрическую тождественную формулу cos^3x = cosx * (1 - sin^2x):

∫-cosx * (1 - sin^2x) dx

Заменим sin^2x на (1 - cos2x) / 2:

∫-cosx * (1 - (1 - cos2x) / 2) dx

Распределим интеграл:

∫(-cosx + cosx * cos2x / 2) dx

Интеграл от -cosx равен -sinx, а от cosx * cos2x / 2 равен (1/2) * sin(2x):

-∫sinx dx + (1/2) ∫sin(2x) dx

-(-cosx) + (1/2) * (- (1/2) * cos(2x)) + C2, где C2 - произвольная постоянная интегрирования.

Теперь найдем интеграл от 1:

∫1 dx = x + C3, где C3 - произвольная постоянная интегрирования.

Теперь соберем все части вместе:

∫(sin^2x - cos^3x + 1) dx = (1/2) * (x - (1/2) * sin(2x)) - sinx + (1/4) * cos(2x) + x + C, где C = C1 + C2 + C3 - произвольная постоянная интегрирования.

Теперь оценим этот выражение в пределах от -1 до 1:

∫(sin^2x - cos^3x + 1) dx = [(1/2) * (1 - (1/2) * sin(2)) - sin(1) + (1/4) * cos(2) + 1] - [(1/2) * (-1 - (1/2) * sin(-2)) - sin(-1) + (1/4) * cos(-2) - 1]

Так как sin(-x) = -sin(x) и cos(-x) = cos(x), то:

∫(sin^2x - cos^3x + 1) dx = [(1/2) * (1 - (1/2) * sin(2)) - sin(1) + (1/4) * cos(2) + 1] - [(1/2) * (-1 - (1/2) * sin(2)) + sin(1) + (1/4) * cos(2) - 1]

Сократим слагаемые:

∫(sin^2x - cos^3x + 1) dx = [(1/2) * (1 - (1/2) * sin(2)) - sin(1) + (1/4) * cos(2) + 1] - [(1/2) * (-1 - (1/2) * sin(2)) + sin(1) + (1/4) * cos(2) - 1]

= (1/2) + sin(1)

Окончательный ответ:

∫(sin^2x - cos^3x + 1) dx = (1/2) + sin(1)