Question

Дана последовательность an=n. а) Первые 102 её члена записали в другом порядке: сначала числа, кратные двум, в порядке возрастания, затем числа кратные трём (также в порядке возрастания), на последнем месте - число 1. Существует ли число, которое сохранило свой номер? б) Каждый из членов исходной последовательности со второго по 203-й возвели в квадрат. На сколько сумма нечётных квадратов больше, чем сумма чётных?

Answer 1

А) да 
изначально на 101-месте будет число 101
после перестановок на 101 месте тоже будет число 101 (так как оно простое, единственное кратное 101)
б) изначально было 1,2,3,..., 201, 202, 203
после возведения в квадрат 1, 2*2, 3*3, ..., 203*203

учитывая , что 3*3-2*2=(2+1)*(2+1)-2*2=2*2+1
5*5-4*4=(4+1)*(4+1)-4*4=2*4+1
.....
203*203-202*202=(202+1)*(202+1)-202*202=2*202+1

то (1+3*3+5*5+....+203*203)-(2*2+4*4+6*6+...+202*202)=
1+(2*2+1)+(2*4+1)+...+(2*202+1)=
=2*(2+4+6+...+202)+(1+1+..+1) (203 раза)=4*(1+2+...+101)+203=
4*101*102:2+203=20807

использовали тот факт, что сумма первых n натуральных чисел равна
1+2+3+...+n=n(n+1)/2

Answer 2

а) Для анализа, сначала давайте переставим первые 102 члена последовательности в соответствии с условиями задачи:

1. Сначала запишем числа, кратные двум, в порядке возрастания.
2. Затем запишем числа, кратные трём, также в порядке возрастания.
3. На последнее место запишем число 1.

Теперь, чтобы найти число, которое сохранило свой номер, нужно найти число, которое одновременно является кратным 2 и 3. Такие числа называются кратными шести. Давайте найдем кратные шести в данной последовательности:

Первые 102 числа последовательности - это последовательные натуральные числа, начиная с 1. Мы можем найти кратные шести, последовательно умножая 6 на числа от 1 до 17 (так как 6 * 17 = 102). Таким образом, числа, которые соответствуют кратным шести в последовательности, будут: 6, 12, 18, ..., 96.

Теперь проверим, есть ли какое-либо из этих чисел на своем месте в переставленной последовательности:

1. Первое число кратное шести - 6. Но число 6 в переставленной последовательности находится на другом месте, так как числа, кратные двум, идут первыми.
2. Второе число кратное шести - 12. Но число 12 также находится на другом месте в переставленной последовательности.
3. Третье число кратное шести - 18. Но число 18 также находится на другом месте.
4. Продолжая таким образом, мы видим, что ни одно из чисел, кратных шести, не сохранило свой номер в переставленной последовательности.

Ответ: В переставленной последовательности ни одно из чисел не сохранило свой номер.

б) Дано, что последовательность представляет собой натуральные числа, начиная с 1. Таким образом, первый член - 1, второй член - 2, третий член - 3 и так далее.

Каждый из членов, начиная с 2-го и до 203-го, возвели в квадрат:

2^2 = 4 3^2 = 9 4^2 = 16 ...

Найдем сумму квадратов четных чисел (2, 4, 6, ...):

Сумма четных квадратов = 2^2 + 4^2 + 6^2 + ... + 202^2

Так как каждый четный член последовательности является четным числом, а каждый следующий четный член увеличивается на 2 (например, 2, 4, 6, ...), то можно вынести общий множитель 2^2 из каждого члена:

Сумма четных квадратов = 2^2 * (1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + 101^2)

Теперь найдем сумму квадратов нечетных чисел (1, 3, 5, ...):

Сумма нечетных квадратов = 1^2 + 3^2 + 5^2 + ... + 201^2

Теперь мы можем вычислить значения этих сумм. Для этого используем формулы для суммы квадратов натуральных чисел:

Сумма квадратов первых n натуральных чисел: 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = n(n + 1)(2n + 1) / 6

Сумма первых n натуральных чисел: 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1) / 2

Теперь подставим значения:

Сумма четных квадратов = 2^2 * (1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + 101^2) = 4 * (101 * 102 * 203) / 6 = 138338

Сумма нечетных квадратов = 1^2 + 3^2 + 5^2 + ... + 201^2 = (201 * 202 * 403) / 6 = 2733400

Теперь найдем разницу:

Разница = Сумма нечетных квадратов - Сумма четных квадратов = 2733400 - 138338 = 2595062

Ответ: Сумма нечетных квадратов больше суммы четных квадратов на 2595062.