Question

Первый член арифметической прогрессии a1 = 12, а разница d = -2. Сколько нужно взять первых членов прогрессии, что бы их сумма равнялась -48

Answer 1

$a_1=12; \ \ d=-2; \ \ S_n=-48 \\ n=?$

по формуле суммы первых n членов арифм.прогрессии:

$\frac{2\cdot 12-2(n-1)}{2} \cdot n = -48 \\\\ \frac{2( 12-(n-1))}{2} \cdot n = -48 \\\\ (12-n+1) \cdot n=-48 \\\\ -n^2+13n+48=0 \\\\ n^2-13n-48=0 \\\\ D=169+192=361=19^2$

$n_1= \frac{13-19}{2}=-3$  посторонний корень

$n_2= \frac{13+19}{2}= 16$

Ответ: 16

Answer 2

Для нахождения количества первых членов арифметической прогрессии, сумма которых будет равна -48, мы можем использовать формулу для суммы первых n членов арифметической прогрессии:

S_n = (n/2) * (a_1 + a_n),

где S_n - сумма первых n членов прогрессии, a_1 - первый член прогрессии, a_n - n-ый член прогрессии.

Мы знаем значения a_1 = 12 и d = -2. Теперь нам нужно найти n (количество первых членов), при условии, что S_n = -48.

Для этого представим сумму S_n в виде:

S_n = (n/2) * (a_1 + a_n) = (n/2) * (a_1 + (a_1 + (n-1)*d)),

подставим известные значения:

-48 = (n/2) * (12 + (12 + (n-1)*(-2)).

Упростим уравнение:

-48 = (n/2) * (12 - 2n + 2).

Далее, избавимся от деления на 2, умножив обе части уравнения на 2:

-96 = n * (12 - 2n + 2).

Раскроем скобки:

-96 = n * (14 - 2n).

Теперь приведем уравнение к квадратичному виду:

0 = 2n^2 - 14n - 96.

Далее решим это квадратное уравнение. Есть несколько способов, но один из них - использовать квадратную формулу:

n = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a.

В нашем случае, a = 2, b = -14, c = -96:

n = (14 ± √((-14)^2 - 4 * 2 * (-96))) / 2 * 2.

n = (14 ± √(196 + 768)) / 4.

n = (14 ± √964) / 4.

n = (14 ± 31.048) / 4.

Так как n - количество первых членов прогрессии, то оно не может быть отрицательным. Поэтому мы оставляем только положительный корень:

n ≈ (14 + 31.048) / 4 ≈ 45.048 / 4 ≈ 11.262.

Поскольку количество членов прогрессии должно быть целым числом, берем ближайшее меньшее целое число, которое равно 11.

Таким образом, чтобы сумма первых членов арифметической прогрессии была равна -48, нужно взять 11 первых членов прогрессии.