Question

Найти производную функции y=1/3x^2-1 график которой проходит через точку (0;-2)

Answer 1

Производная у каждой функции только одна, поэтому у нас нет выбора.

Вы, наверно, опечатались, но имели в виду, найти первообразную.

F(x) + C = ∫(1/3 * x^2 - 1)dx + C =
=1/3*∫x^2 * dx - ∫dx + C=
=1/3 * x^3 / 3 - x + C
= 1/9 * x^3 - x + C

Теперь подставляем значения: x = 0; F(x) = -2

1/9 * x^3 - x + C = -2;
1/9 * 0^3 - 0 + C = -2;
0 + C = -2;
C = -2;

Искомая первообразная: F(x) = 1/9 * x^3 - x -2.

Answer 2

Для нахождения производной функции $y = \frac{1}{3}x^2 - 1$, применим правило дифференцирования степенной функции и константы. Производная данной функции $y$ будет равна скорости изменения $y$ по $x$, то есть её тангенсу угла наклона касательной к графику функции в каждой точке. После нахождения производной, мы сможем найти уравнение касательной в точке $(0, -2)$.

Шаг 1: Найдём производную функции $y$: $y = \frac{1}{3}x^2 - 1$

Для этого найдем производные каждого слагаемого по отдельности:

• Производная по $x$ от $\frac{1}{3}x^2$: $\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{3}x^2 \right) = \frac{1}{3} \cdot 2x = \frac{2}{3}x$

• Производная по $x$ от константы $-1$: $\frac{d}{dx} (-1) = 0$

Шаг 2: Посчитаем полную производную суммы: $\frac{dy}{dx} = \frac{2}{3}x + 0 = \frac{2}{3}x$

Теперь у нас есть выражение для производной функции $y$, которое равно $\frac{2}{3}x$.

Шаг 3: Найдем уравнение касательной к графику функции в точке $(0, -2)$. Касательная имеет уравнение вида $y = kx + b$, где $k$ - это значение производной в данной точке, а $b$ - смещение по оси $y$.

В точке $(0, -2)$ значение производной $\frac{dy}{dx}$ равно: $\frac{dy}{dx} \Big|_{x=0} = \frac{2}{3} \cdot 0 = 0$

Теперь у нас есть $k = 0$.

Чтобы найти $b$, подставим координаты точки $(0, -2)$ в уравнение касательной: $-2 = 0 \cdot 0 + b$ $b = -2$

Таким образом, уравнение касательной к графику функции $y = \frac{1}{3}x^2 - 1$ в точке $(0, -2)$ будет: $y = 0 \cdot x - 2$ $y = -2$

График функции $y = \frac{1}{3}x^2 - 1$ проходит через точку $(0, -2)$, и касательная к этому графику в этой точке горизонтальна и проходит также через точку $(0, -2)$.