Question

ПОЖАЛУЙСТА ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕКСКОЕ УРАВНЕНИЕ 5COS^X-1=2COSX-SIN^X

Answer 1

5*cos²x-1=2*cosx-sin²x
5*cos²x-2*cosx=1-sin²x
5*cos²x-2*cosx=cos²x
4*cos²x-2*cosx=0  |÷2
2*cos²x-cosx=0
cosx*(2*cosx-1)=0
cosx=0
x₁=π/2+πn
2*cosx-1=0
2*cosx=1  |÷2
cosx=1/2
x₂=π/3+2πn     x₃=-π/3+2πn.
Ответ: x₁=π/2+πn, x₂=π/3+2πn, x₃=-π/3+2πn.

Answer 2

Для решения данного тригонометрического уравнения необходимо найти значения $x$, которые удовлетворяют данному уравнению. Для начала приведем уравнение к более простому виду, заменив $cos^2x$ и $sin^2x$ с помощью тригонометрических тождеств:

$5\cos^2x - 1 = 2\cos x - \sin^2x$

Теперь заменим $\sin^2x$ на $1 - \cos^2x$:

$5\cos^2x - 1 = 2\cos x - (1 - \cos^2x)$

Раскроем скобки:

$5\cos^2x - 1 = 2\cos x - 1 + \cos^2x$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

$5\cos^2x - \cos^2x - 2\cos x + 1 - 1 = 0$

$4\cos^2x - 2\cos x = 0$

Теперь можно разделить уравнение на $2\cos x$ (если $\cos x = 0$, то уравнение уже удовлетворено) и решить получившееся квадратное уравнение:

$2\cos x (2\cos x - 1) = 0$

Теперь решим два уравнения относительно $\cos x$:

1. $2\cos x = 0$

$\cos x = 0$

2. $2\cos x - 1 = 0$

$\cos x = \frac{1}{2}$

Теперь найдем значения $x$, удовлетворяющие этим уравнениям. Для этого рассмотрим значения $\cos x$ на промежутке $[0, 2\pi]$:

1. Когда $\cos x = 0$, то $x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \ldots$

2. Когда $\cos x = \frac{1}{2}$, то $x = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

Таким образом, уравнение имеет следующие решения:

$x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

При подстановке этих значений в исходное уравнение обязательно проверьте, что они действительно являются корнями.