Question

. Найдите шестой и десятый члены геометрической прогрессии, если известно, что их сумма квадратов равна 136, а произведение четырнадцатого и второго членов этой прогрессии равно 60.

Answer 1

{(b₆)²+(b₁₀)²=136
{b₁₄*b₂=60

b₁₄=b₁₀*q⁴
b₂=b₆/q⁴

b₁₄*b₂=b₁₀*q⁴ * b₆/q⁴=b₁₀*b₆=60

{(b₆)²+(b₁₀)²=136
{b₁₀*b₆=60                               b₁₀=60:b₆



(b₆)²+(60/b₆)²=136
t=(b₆)²
t+3600/t=136
t²-136t+3600=0
D=18496-14400=4096=64²

t₁=(130+64)/2=100
1)b₆=10;b₁₀=60/10=6
2)b₆=-10;b₁₀=-6

t₂=(130-64)/2=36
1)b₆=6;b₁₀=60/6=10
2)b₆=-6;b₁₀=-10

Answer 2

Давайте обозначим первый член геометрической прогрессии как "а", а знаменатель прогрессии - как "q". Тогда шестой и десятый члены будут равны соответственно:

шестой член: a * q^5 десятый член: a * q^9

Также у нас есть два условия:

1. Сумма квадратов шестого и десятого членов равна 136:

(a * q^5)^2 + (a * q^9)^2 = 136

2. Произведение четырнадцатого и второго членов равно 60:

a * q^13 * a * q = 60

Теперь у нас есть два уравнения, которые позволят нам найти значения "а" и "q". Давайте решим систему уравнений.

Уравнение (1):

(a * q^5)^2 + (a * q^9)^2 = 136 a^2 * q^10 + a^2 * q^18 = 136 a^2 * q^10 + a^2 * q^10 * q^8 = 136 a^2 * q^10 * (1 + q^8) = 136

Уравнение (2):

a * q^13 * a * q = 60 a^2 * q^14 = 60

Теперь мы можем выразить "а" и "q":

a^2 * q^10 * (1 + q^8) = 136 a^2 * q^14 = 60

Теперь поделим уравнения, чтобы избавиться от "а":

(a^2 * q^10 * (1 + q^8)) / (a^2 * q^14) = 136 / 60

q^10 * (1 + q^8) = 2.26667 * q^10

Теперь у нас есть:

q^10 * (1 + q^8) = 2.26667 * q^10

Теперь уравнение примет вид:

1 + q^8 = 2.26667

q^8 = 2.26667 - 1

q^8 = 1.26667

Теперь найдем "q":

q = (1.26667)^(1/8)

q ≈ 1.0867

Теперь, когда у нас есть значение "q", давайте найдем "а" с помощью уравнения (2):

a^2 * q^14 = 60

a^2 = 60 / q^14

a^2 = 60 / (1.0867)^14

a^2 ≈ 2.1236

a ≈ √(2.1236)

a ≈ 1.4579

Таким образом, первый член геометрической прогрессии "а" ≈ 1.4579, а знаменатель прогрессии "q" ≈ 1.0867.

Теперь мы можем найти шестой и десятый члены:

шестой член = a * q^5 ≈ 1.4579 * (1.0867)^5 ≈ 1.4579 * 1.6386 ≈ 2.3866

десятый член = a * q^9 ≈ 1.4579 * (1.0867)^9 ≈ 1.4579 * 2.0694 ≈ 3.0127

Таким образом, шестой член геометрической прогрессии ≈ 2.3866, а десятый член ≈ 3.0127.