Question

Найти наименьшее значение функции у=х^2-12x+10Inx+12 на отрезке [12/13;14/13]

Answer 1

Я точно уверен, что здесь нужно использовать производную. Если я правильно понимаю, то производная данной функции будет равна 2x-12+10/x. Чтобы найти нули функции нужно приравнять ее производную к нулю, а затем рассматривать промежутки возрастания и убывания функции. X^2-6X+5. Получаем, что нули производной равны 1 и 5. Расставляем их на прямой. Теперь мы подставляем любое значение из интервала в уравнение производной и смотрим знак. Например, возьмем 10. Производная положительна, а это значит, что функция возрастает. Таким образом функция возрастает от (-беск; 1] и от [5 : +,беск) Нас просят рассмотреть границы 12/13 и 14/13. Как видим, одно число больше 1, другое меньше 1. Причем на одном интервале функция убывает, а на другом возрастает. Не очень понятно какое из значений наименьшее. Таким образом, чтобы найти наименьшее значение функции, нам нужно подставить в функцию вместо x каждую из этих границ и сравнить значения функции.

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения функции на заданном отрезке [12/13, 14/13], нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции у по переменной х.
2. Найти точки экстремума, уравняв производную в нуле и решив уравнение.
3. Оценить значения функции в точках экстремума и на концах отрезка.
4. Найти наименьшее значение из полученных.

Шаг 1: Найдем производную функции у по переменной х.

у = x^2 - 12x + 10ln(x) + 12

Производная функции у: у' = d/dx (x^2 - 12x + 10ln(x) + 12) у' = 2x - 12 + 10/x

Шаг 2: Найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю:

2x - 12 + 10/x = 0

Шаг 3: Решим уравнение:

2x - 12 + 10/x = 0 2x^2 - 12x + 10 = 0

Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac D = (-12)^2 - 4 * 2 * 10 D = 144 - 80 D = 64

x = (-b ± √D) / 2a x = (12 ± √64) / 4 x = (12 ± 8) / 4

Таким образом, получаем два значения x:

x₁ = (12 + 8) / 4 = 5 x₂ = (12 - 8) / 4 = 1

Шаг 4: Оценим значения функции в найденных точках и на концах отрезка:

Для x = 12/13: y₁ = (12/13)^2 - 12 * (12/13) + 10ln(12/13) + 12 ≈ 14.02

Для x = 5: y₂ = 5^2 - 12 * 5 + 10ln(5) + 12 ≈ -21.87

Для x = 14/13: y₃ = (14/13)^2 - 12 * (14/13) + 10ln(14/13) + 12 ≈ 14.92

Для x = 1: y₄ = 1^2 - 12 * 1 + 10ln(1) + 12 = -1

Теперь, чтобы найти наименьшее значение функции на заданном отрезке, сравним найденные значения:

Наименьшее значение: y₂ ≈ -21.87 (при x = 5)

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке [12/13, 14/13] равно примерно -21.87.