Question

Решить уравнение sin х + cos х = 1 − sin 2х. А) (−1)^n*pi/4+ 2; В) 2pi*n/3+ 2pi*n; Б) pi/4+ 2pi*n; Г) ((−1)^ − 1)pi/4+pi*n

Answer 1

Решение смотрите на фотографии

Answer 2

$sinx+cosx=1-sin2x\\\\Zamena:\; \; t=sinx+cosx\; \to \; \; t^2=(sinx+cosx)^2\\\\t^2=sin^2x+cos^2x+2sinx\cdot cosx=1+sin2x\; \to \; \; sin2x=t^2-1\\\\t=1-(t^2-1)\; ,\; \; \; t=1-t^2+1\\\\t^2+t-2=0\\\\t_1=-2\; ,\; \; t_2=1\; \; (teorema\; Vieta)\\\\a)\; \; sinx+cosx=-2\; |:\sqrt2\\\\\frac{1}{\sqrt2}\cdot sinx+ \frac{1}{\sqrt2}\cdot cosx=- \frac{2}{\sqrt2}\\\\cos\frac{\pi}{4}\cdot sinx+sin \frac{\pi}{4}\cdot cosx=-\sqrt2\\\\sin(x+\frac{\pi}{4})=-\sqrt2\\\\-\sqrt2\approx -1,4$

$sin(x+\frac{\pi}{4})=-\sqrt2\; \; ne\; imeet\; reshenij\; ,\; x\in \varnothing \\\\b)\; \; sinx+cosx=1\; |:\sqrt2\\\\\frac{1}{\sqrt2}\cdot sinx+ \frac{1}{\sqrt2}\cdot cosx= \frac{1}{\sqrt2}\\\\sin(x+\frac{\pi}{4})=\frac{1}{\sqrt2}\; ,\; \; \; \; \frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{\sqrt2\cdot \sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}\\\\sin(x+\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt2}{2}\\\\x+\frac{\pi}{4}=(-1)^{n}\cdot arcsin\frac{\sqrt2}{2}+\pi n=(-1)^{n}\cdot \frac{\pi }{4}+\pi n\; , \; n\in Z\\\\x=-\frac{\pi}{4}+(-1)^{n}\cdot (-1){n}\cdot \frac{\pi}{4}+\pi n$

$\underline {x=((-1)^{n}-1)\cdot \frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in Z}$

Ответ: Г) .

Answer 3

Для решения уравнения sin(x) + cos(x) = 1 - sin(2x) воспользуемся тригонометрическими тождествами и попробуем привести его к более простой форме.

Тригонометрические тождества, которые нам пригодятся:

1. sin(2x) = 2sin(x)cos(x)
2. cos^2(x) + sin^2(x) = 1
3. cos(x) = sin(π/2 - x)

Преобразуем уравнение:

sin(x) + cos(x) = 1 - sin(2x) sin(x) + cos(x) = 1 - 2sin(x)cos(x) (подставляем sin(2x) = 2sin(x)cos(x))

Теперь выразим sin(2x) через cos(x):

1 - sin(x) - cos(x) = 2sin(x)cos(x) 1 = 3sin(x)cos(x) + sin(x) + cos(x) 1 = sin(x)(3cos(x) + 1) + cos(x)

Теперь выразим cos(x) через sin(π/2 - x):

1 = sin(x)(3(π/2 - x) + 1) + (π/2 - x) 1 = sin(x)(3π/2 - 3x + 1) + π/2 - x 1 = (3π/2 - 3x + 1)sin(x) + π/2 - x

Теперь введем новую переменную t = sin(x):

1 = (3π/2 - 3x + 1)t + π/2 - x

Теперь решим уравнение относительно t:

1 = (3π/2 - 3x + 1)t + π/2 - x 1 = (3π/2 - x - 3x)t + π/2 - x 1 = (π/2 - 4x)t + π/2 - x 1 = π/2(1 - 4t) + x(1 - 4t)

Теперь выразим x:

x(1 - 4t) = 1 - π/2(1 - 4t) x = (1 - π/2(1 - 4t)) / (1 - 4t)

Теперь найдем t:

t = sin(x) t = sin((1 - π/2(1 - 4t)) / (1 - 4t))

Таким образом, уравнение приводится к сложному трансцендентному уравнению, которое нельзя решить аналитически. Точные значения x можно найти только численно с помощью численных методов.

Таким образом, ни один из предложенных вариантов (А, В, Б, Г) не является верным решением данного уравнения.