Question

Если tg4x=-1/2 найти ctgx-tgx-2tg2x=?

Answer 1

Ответ на картинке внизу страницы

Answer 2

Для решения данного уравнения, давайте вначале выразим тангенсы через котангенсы, используя базовые тригонометрические тождества:

1. Тангенс: tg(2x) = 2tg(x) / (1 - tg^2(x))

2. Котангенс: ctg(x) = 1 / tg(x)

3. Квадрат тангенса: tg^2(x) = (1 - ctg^2(x)) / (1 + ctg^2(x))

Дано tg(4x) = -1/2. Тогда можно найти tg(2x) и ctg(4x):

tg(4x) = -1/2 2tg(2x) / (1 - tg^2(2x)) = -1/2

Далее, решим уравнение относительно tg(2x):

2tg(2x) = -(1 - tg^2(2x)) 2tg(2x) + tg^2(2x) - 1 = 0

Теперь заметим, что это квадратное уравнение относительно tg(2x). Решим его:

tg^2(2x) + 2tg(2x) - 1 = 0

Для удобства, заменим tg(2x) на t:

t^2 + 2t - 1 = 0

Решим это квадратное уравнение:

t = (-2 ± √(2^2 - 4 * 1 * -1)) / 2 t = (-2 ± √(4 + 4)) / 2 t = (-2 ± √8) / 2 t = (-2 ± 2√2) / 2 t = -1 ± √2

Таким образом, у нас два возможных значения tg(2x):

1. tg(2x) = -1 + √2
2. tg(2x) = -1 - √2

Теперь, выразим ctg(4x):

ctg(4x) = 1 / tg(4x) ctg(4x) = 1 / (-1/2) ctg(4x) = -2

Теперь, можем рассчитать ctg(x) и tg(x) с использованием данных tg(4x) и ctg(4x):

ctg(2x) = -ctg(4x) = -(-2) = 2

tg(x) = (1 - √2) / 2 (для tg(2x) = -1 + √2) tg(x) = (1 + √2) / 2 (для tg(2x) = -1 - √2)

Итак, теперь можем рассчитать ctg(x) и tg(x):

1. ctg(x) = 1 / tg(x) = 1 / ((1 - √2) / 2) = 2 / (1 - √2)
2. ctg(x) = 1 / tg(x) = 1 / ((1 + √2) / 2) = 2 / (1 + √2)

Наконец, рассчитаем выражение ctgx - tgx - 2tg^2(x) для каждого значения tg(2x):

1. ctgx - tgx - 2tg^2(x) = (2 / (1 - √2)) - ((1 - √2) / 2) - 2 * ((1 - √2) / 2)^2 Подставим значения и выполним вычисления:

   ctgx - tgx - 2tg^2(x) = (2 / (1 - √2)) - ((1 - √2) / 2) - 2 * ((1 - √2) / 2)^2 = (2 / (1 - √2)) - ((1 - √2) / 2) - 2 * ((1 - √2)^2 / 4) = (2 / (1 - √2)) - ((1 - √2) / 2) - ((1 - √2)^2 / 2) = (2 / (1 - √2)) - ((1 - √2) / 2) - (1 - 2√2 + 2) = (2 / (1 - √2)) - ((1 - √2) / 2) - (1 + 2√2 - 2) = (2 / (1 - √2)) - ((1 - √2) / 2) - (2√2 - 1) = (2 / (1 - √2)) - (1/2 - √2/2) - (2√2 - 1) = (2 / (1 - √2)) - (1/2) + (√2/2) - (2√2 - 1) = (2 / (1 - √2)) - 1/2 + √2/2 - 2√2 + 1 = (2 / (1 - √2)) - 1/2 - 2√2/2 + √2/2 + 1 = (2 / (1 - √2)) - 1/2 - (√2/2) + √2/2 + 1 = (2 / (1 - √2)) - 1/2 + 1 = (2 / (1 - √2)) + 1/2

2. ctgx - tgx - 2tg^2(x) = (2 / (1 + √2)) - ((1 + √2) / 2) - 2 * ((1 + √2) / 2)^2 Выполним аналогичные вычисления:

   ctgx - tgx - 2tg^2(x) = (2 / (1 + √2)) - ((1 + √2) / 2) - 2 * ((1 + √2) / 2)^2 = (2 / (1 + √2)) - ((1 + √2) / 2) - 2 * ((1 + √2)^2 / 4) = (2 / (1 + √2)) - ((1 + √2) / 2) - ((1 + √2)^2 / 2