Question

Решите неравенство sinx>|cosx|-

Answer 1

1) Пусть cos x > 0, тогда |cos x| = cos x
sin x > √3*cos x - √2
Делим всё на 2.
1/2*sin x > √3/2*cos x - √2/2
√2/2 > √3/2*cos x - 1/2*sin x
√2/2 > cos x*cos(pi/6) - sin x*sin(pi/6)
cos (x + pi/6) < √2/2
pi/4 + 2pi*k < x + pi/6 < 7pi/4 + 2pi*k
На 1 рис. показано, почему это так.
Интересующая нас часть круга выделена жирной линией.
pi/4 - pi/6 + 2pi*k < x < 7pi/4 - pi/6 + 2pi*k
3pi/12 - 2pi/12 + 2pi*k < x < 21pi/12 - 2pi/12 + 2pi*k
x ∈ (pi/12 + 2pi*k; 19pi/12 + 2pi*k)
С учетом условия cos x >= 0 получаем:
x ∈ (pi/12 + 2pi*k; pi/2 + 2pi*k] U [3pi/2 + 2pi*k; 19pi/12 + 2pi*k)

2) Пусть cos x < 0, тогда |cos x| = -cos x
sin x > -√3*cos x - √2
Делим всё на 2.
1/2*sin x > -√3/2*cos x - √2/2
√3/2*cos x + 1/2*sin x > -√2/2
cos x*cos(pi/6) + sin x*sin(pi/6) > -√2/2
cos (x - pi/6) > -√2/2
-3pi/4 + 2pi*k < x - pi/6 < 3pi/4 + 2pi*k
На 2 рис. показано, почему это так.
-3pi/4 + pi/6 + 2pi*k < x < 3pi/4 + pi/6 + 2pi*k
-9pi/12 + 2pi/12 + 2pi*k < x < 9pi/12 + 2pi/12 + 2pi*k
x ∈ (-7pi/12 + 2pi*k; 11pi/12 + 2pi*k)
С учетом условия cos x < 0
x ∈ (-7pi/12 + 2pi*k; -pi/2 + 2pi*k) U (pi/2 + 2pi*k; 11pi/12 + 2pi*k)
Если свести оба случая в один ответ, то получится:
x € (-7pi/12 + 2pi*k; -5pi/12 + 2pi*k) U (pi/12 + 2pi*k; 11pi/12 + 2pi*k)

Answer 2

Для решения данного неравенства необходимо рассмотреть несколько случаев, исходя из знака выражения |cos(x)| - cos(x). Начнем с простого анализа:

1. Когда 0 ≤ x ≤ π/2: В этом диапазоне оба sin(x) и |cos(x)| - cos(x) положительны. Поэтому неравенство верно для всех значений x в этом интервале.

2. Когда π/2 < x ≤ π: В этом диапазоне sin(x) положительный, а |cos(x)| - cos(x) отрицательный. Таким образом, sin(x) > |cos(x)| - для всех значений x в этом интервале.

3. Когда π < x ≤ 3π/2: В этом диапазоне sin(x) отрицательный, а |cos(x)| - cos(x) отрицательный. Однако sin(x) всегда по модулю меньше значения |cos(x)|, так как sin(x) находится в диапазоне от -1 до 1, а |cos(x)| принимает значения от 1 до -1. Таким образом, sin(x) > |cos(x)| - для всех значений x в этом интервале.

4. Когда 3π/2 < x ≤ 2π: В этом диапазоне sin(x) отрицательный, а |cos(x)| - cos(x) положительный. В этом случае можно переписать неравенство как sin(x) + cos(x) > 0, что верно для всех значений x в этом интервале.

Итак, неравенство sin(x) > |cos(x)| верно для всех значений x на интервале от 0 до 2π.