Question

30 баллов, тема: уравнение касательной к графику, просьба объяснить досконально, непонятна тема График функции f(x)=x^2+px+q проходит через начало координат и касается прямой y=2x-16. Найдите наименьшее значение функции f.

Answer 1

Прежде всего раз график f(х) касается прямой у=2х-16, то это означает, что у=2х-16 является касательной к f(x).

График функции f(x)=x²+px+q проходит через начало координат

отсюда получаем f(0)=0
или 0=0²+р*0+q
откуда q=0
значит график функции
f(x) имеет вид f(x)=x²+px

Найдем производную f(x)=x²+px
f'(x)=2x+p

Наименьшее значение f(x) будет достигаться в точке Хмин
при f'(Xмин)=0
2Хмин+р=0 откуда Хмин= - р/2 (#)
Нам остаётся найти p

Уравнение касательной к f(x) в точке Хо
у=f(Xo)+f'(Xo)(x-Xo)

f(X0)=Xo²+pXo
f'(Xo)=2Xo+p

значит
у= (Xo²+pXo)+
+(2Xo+p)(х-Хо)=
=(2Xo+p)х+
+(Xo+pXo-2Хо²-pXo)=
=(2Xo+p)х +(-Xo²)
Наша касательная по условию:
y=2х-16

откуда, приравнивая коэффициенты при x и свободные члены, получим :
2Хо+р=2 (1)
-Xo²=-16 и(2)

из (2) получаем Xo²=16 и (Хо)1,2=±4
из (1) находим p=2-2Xo
p1=2-2*4=-6
f1(x)=x²-6x (синий график , см фото)
p2=2+2*4=10
f2(x)=x²+10x (черный график, см фото)
касательная у=2х-16 обозначена красным цветом

из (#)
Хмин= - р/2
подставляем найденные значения p в эту формулу:
(Xmin)1= -(-6)/2=3
(Xmin)2= -10/2=-5

Наименьшие значения функций:
f((Xmin)1)= 3²-6*3=-9
f((Xmin)2)=(-5)²+10(-5)=-25
(два решения)

Answer 2

F(x)=x²+px+q; O(0;0)
f(0)=q=0
q=0

y=2x-16
уравнение касательной
y=f'(x0)*(x-x0)+f(x0)
y=f'(x0)*x-f'(x0)*x0+f(x0)
f'(x0)=2
f(x0)-f'(x0)*x0=-16
найдём производную f(x)
f'(x)=2x+p
2x0+p=2
p=2-2x0
x0²+p*x0-(2x0+p)*x0=-16
x0²+p*x0-2x0²-px0=-16
-x0²=-16
x0²=16
x0=±4

p1=2-2x0=2-8=-6
p2=2-2(-4)=10
1)f(x)=x²-6x

найдём координаты вершина
х1=6/2=3
f(x1)=9-6*3=9-18=-9
наименьшее значения -9
p2=10
2)f(x)=x²+10x
x2=-10/2=-5
f(x2)=25-50=-25
наименьшее значения функции -25

Answer 3

Хорошо, давайте разберемся с этой задачей поэтапно.

Для начала, у нас дана функция f(x) и прямая y = 2x - 16, через которую проходит график функции f(x). Нам нужно найти наименьшее значение функции f(x).

Шаг 1: График функции проходит через начало координат.

Это означает, что когда x = 0, f(x) = 0, потому что график функции проходит через точку (0, 0). Подставим это в уравнение функции:

f(0) = 0^2 + p * 0 + q 0 = 0 + 0 + q q = 0

Таким образом, уравнение функции f(x) примет вид:

f(x) = x^2 + px (так как q = 0)

Шаг 2: График функции касается прямой y = 2x - 16.

Если график функции f(x) касается прямой y = 2x - 16, это означает, что у них есть одна общая точка касания. Когда у прямой и кривой есть общая точка касания, производные этих функций в этой точке равны.

Шаг 3: Найдем производную функции f(x).

f(x) = x^2 + px

Чтобы найти производную функции, возьмем производную от каждого слагаемого по отдельности:

f'(x) = d/dx (x^2) + d/dx (px)

Производная x^2 равна 2x.

Производная px по x равна p.

Таким образом, производная функции f(x) равна:

f'(x) = 2x + p

Шаг 4: Найдем производную прямой y = 2x - 16.

У прямой уравнение уже дано в явном виде, поэтому производная будет равна коэффициенту при x, то есть 2.

Шаг 5: Найдем общую точку касания.

Мы знаем, что у прямой и функции в точке касания их производные равны. То есть:

f'(x) = 2x + p y' = 2

Эти производные должны быть равны в точке касания, пусть это будет x0:

2x0 + p = 2

Теперь нам нужно найти значение x0:

2x0 = 2 - p x0 = (2 - p) / 2

Шаг 6: Найдем значение функции f(x) в точке касания.

Мы знаем значение x0, поэтому подставим его обратно в уравнение функции f(x):

f(x0) = (x0)^2 + p * x0

Теперь подставим x0:

f(x0) = ((2 - p) / 2)^2 + p * ((2 - p) / 2)

Шаг 7: Найдем наименьшее значение функции f(x).

Теперь у нас есть выражение для f(x0), и нам нужно найти его минимальное значение. Для этого приравняем производную f(x0) к нулю и решим уравнение относительно p:

f'(x0) = 2x0 + p = 0

2 * ((2 - p) / 2) + p = 0

2 - p + p = 0

2 = 0

Это уравнение невозможно, и это хорошо, потому что означает, что у нас нет стационарной точки (точки минимума или максимума). Значит, функция f(x) убывает на протяжении всего интервала, и наименьшее значение она имеет в пределе, когда x стремится к минус бесконечности.

Таким образом, наименьшее значение функции f(x) отсутствует.